Контактное взаимодействие накладок с упругими телами, нагруженными на бесконечности

• Автор: Саламатова, Виктория Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 с. : ил.

Введение
Контакт — один из основных способов приложения нагрузки к деформируемому телу, поэтому задачи механики контактных взаимодействий занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Величина контактных давлений имеет важное значение для определения напряжений и перемещений. Методы, развиваемые в теории контактных задач, позволяют найти распределение давлений в местах контакта, и таким образом ответить на многие важные вопросы о местах концентрации напряжений, износостойкости и о других факторах контактной прочности и жесткости.
Основополагающими в теории механики контактных взаимодействий являются монографии И. Я. Штаермана [93], Л. А. Галина [70], К. Джонсона [75], В. М. Александрова и М. И. Чебакова [51]. Обзорная монография [88] освещает (до 1975 г.) фундаментальные результаты и методы в теории контактных задач; полный обзор методов решения задач механики контактных взаимодействий и основные достижения за последние годы в этой области механики деформируемого твердого тела представлен в книге [82].
Теория контактных задач находит широкое применение в машиностроении. Ведь, как известно, передача усилий в машинах происходит вследствие контактирования деталей, которые в большинстве случаев можно рассматривать как упругие тела. Немалое значение имеют вопросы разрушения материалов в области контакта и долговечность конструкций. Расчет прочности фундаментных сооружений, определение напряжений, возникающих под основаниями и фундаментами, также приводят к задачам об определении контактных давлений между основанием и фундаментной плитой и о нахождении осадок плиты. Достаточно часто используется модель изотропного упругого полупространства или модель многослойного упругого полупространства для описания основания. Появление конструктивных материалов, в состав которых входят полимеры, привело к рассмотрению контактных задач для вязкоупругих тел. Контактные задачи имеют важные приложения и в других областях прикладной механики.
Контактные задачи относят к так называемому классу задач механики сплошной среды со смешанными граничными условиями. Под смешанными задачами понимают те, в которых граница тел разбита на конечное число областей и на каждой из них заданы свои граничные условия. Классическая постановка контактной задачи подразумевает ряд упрощающих предположений: пренебрежение шероховатостью поверхностных слоев и их особыми физико-механическими свойствами и предположение о малости зоны контакта по сравнению с характерными размерами тел. Таким образом, задача в классической постановке сводится к решению некоторой задачи теории упругости со смешанными граничными условиями для изотропных однородных полупространства или полуплоскости. Методы теории функций комплексных переменных, развитые Н. И. Мусхелишвили и его учениками и основанные на использовании конформных отображений и теории сингулярных интегральных уравнений, оказались весьма эффективными и нашли широкое применение в работах таких классиков, как Л. А. Галин, А. И. Каландия, С. Г. Михлин и др. Теория пространственных смешанных задач была исследована А. И. Лурье, И. Я. Штаерманом, Л. А. Галпным и др. Результаты работ, посвященных решению классических контактных задач, представлены в монографиях И. Я. Штаермана [93], А. И. Лурье [81], Я. С. Уфлянда [91], Н. И. Мусхелишвили [84], Л. А. Галина [70] и др.
Проблемы, возникающие в инженерной практике середины прошлого столетия, подводят к решению неклаесических контактных задач, то есть к тем задачам контактного взаимодействия, где необходимо принимать во внимание микроструктуру контактирующих поверхностей, а также контактные задачи для неоднородных анизотропных сред. Можно выделить несколько направлений и методов решения в разработке неклассических смешанных задач.
В первом направлении, разрабатываемом Н. Н. Лебедевым, Я. С. Уфлян-дом, И. И. Воровичем, Ю. А. Устиновым и др., задача сводится к некоторым парным интегральным или тройным функциональным уравнениям (рядам, интегральным уравнениям), которые преобразуются к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Его решение находится каким-либо приближенным методом. Второе направление, развиваемое Н. X. Арутюняном, Б. Л. Абрамяном, С. М. Мхитаряном и др., заключается в непосредственном сведении краевой задачи к некоторой бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Другой метод — А. И. Лурье, Г. Я. Попов, Н. А. Ростовцев,

В. М. Александров и др. — также связан со сведением к бесконечной системе алгебраических уравнений и основан на разложении решения в ряд по специально выбранной системе ортогональных полиномов. Многочлены выбираются таким образом, чтобы получающиеся бесконечные системы уравнений были почти диагональным. Следующее, четвертое, направление характеризуется применением метода коллокации: контактное давление аппроксимируется конечным числом параметров, которые определяются из условия связи, накладываемого на перемещения в конечном числе точек области контакта. Развитие этого направления связано с работами И. Я. Штасрмана, А. И. Ка-ландия, И. И. Воровича, В. М. Александрова, В. М. Фридмана и др. Обзоры работ по всем четырем направлениям были сделаны в свое время Г. Я. Поповым и Н. А. Ростовцевым [87], Б. Л. Абрамяном и А. Я. Александровым [1].
Стоит особо отметить асимптотические методы в механике контактных взаимодействий. Идея о применении последних возникает достаточно часто при решении сложных смешанных задач теории упругости, в которых, как правило, имеется несколько безразмерных геометрических или механических параметров, полностью определяющих задачу. Преимущества асимптотических методов состоят в их универсальности (могут быть использованы в случае плоских задач, пространственных, линейных и нелинейных) и в возможности получения решения смешанной задачи в простой аналитической форме, удобной для последующего качественного и количественного исследований. Асимптотические методы в механике контактных взаимодействий позволяют найти основные характеристики одной и той же задачи в нескольких формах, каждая из которых эффективна в своей области изменения параметров. Как правило, области эффективного применения таких решений перекрывают в общей сложности весь возможный диапазон изменения параметров.
Выделим некоторые из широко применяемых асимптотических методов. Первый из подходов основан на построении асимптотических рядов при больших значениях характерных параметров задачи. Этот метод получил название метода «больших Л». Метод «больших Л» был применен к решению осесимметричной задачи о вдавливании штампа в упругий изотропный слой, лежащий без трения на жестком основании [68], был использован при решении неосесимметричных контактных задач для слоя [22] и задачи о кручении двухслойной упругой среды штампом [74], где решение ищется в виде ряда по параметру, характерезующему отношение толщины одного из слоев к радиусу штампа . Вообще, метод «больших Л» и различные его модифи-

Итак, решение интегрального уравнения (1.2.28) даётся формулами (1.2.36) и (1.2.39).
1.3 Упругое полупространство, усиленное эллиптической накладкой
Рассмотрим задачу о контактном взаимодействии тонкой накладки с упругим полупространством, нагруженным на бесконечности равномерным растягивающим усилием. Считается, что накладка имеет в плане эллиптическую форму, является жесткой на растяжение и абсолютно гибкой.
Постановка задачи
Воспользуемся прямоугольной системой координат х, у, г, ось г которой перпендикулярна границе полупространства. Пусть граница г — О упругого полупространства г < 0 усилена тонкой накладкой, которая имеет в плане эллиптическую форму (рис. 1.3). Упругое полупространство нагружено на бесконечности равномерным растягивающим усилием р, направленным одновременно параллельно двум координатным осям х и у. Предполагается, что накладка является жесткой на растяжение, но не сопротивляется изгиб-ным деформациям. Между накладкой и полупространством осуществляется полное сцепление, и область контакта 12 описывается неравенством
В нашем случае
тогда последовательно из (1.2.36) и (1.2.39) получим
(1.2.40)

(О < г < а).
(1.2.41)
(1 + и)тт /а2
(1.3.1)