Использование симметрий для построения новых решений уравнений плоской идеальной пластичности

• Автор: Яхно, Лилия Владимировна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1 Построение новых решений идеальной пластичности с
помощью симметрий
§ 1 Преобразование решения Прандтля о сжатии пластического слоя
§2 «Деформирование» решения для отверстия в виде окружности
Г лава 2 Построение новых решений системы пластичности действием гомогопии решений Надаи и Прандтля
§1 Гомотопия решений Прандтля и Надаи для канала
§ 2 Гомотопия решений Прандтля и Надаи для круглого отверстия с ненулевым касательным напряжением
§ 3 Г омотопия решений Прандтля и Надаи для круглого отверстия с нулевым касательным напряжением
Глава 3 Использование законов сохранения системы двумерной пластичности для решения задачи о штампе
§ 1 Описание законов сохранения
§ 2 Построение решения задачи о вдавливании плоского штампа
Заключение
Список литературы
Приложение А Доказательство лемм
Приложение В Графики гидростатического давления для гомотопии решения Прандтля и решений Надаи для канала и отверстия
Введение
Настоящая диссертационная работа посвящена построению новых решений нелинейных дифференциальных уравнений плоской (двумерной) идеальной пластичности методами группового анализа, а также использованию законов сохранения для нахождения аналитического решения краевой задачи о вдавливании плоского штампа.
Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, приведен обзор основных работ и основные сведения о системе пластичности, дана краткая аннотация разделов диссертации.
Хорошо известно, что твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках. При воздействии более или менее значительных сил тела испытывают неупругие, пластические деформации. Сейчас, говоря о теории пластичности, обычно имеют в виду теорию пластических деформаций, не зависящих от времени. Именно такие пластические деформации рассматриваются в настоящей работе. Теория пластичности ставит своей целью математическое изучение напряжений и смещений в пластически деформируемых телах.
Теория пластичности имеет важные приложения в технике и физике. Решение многих вопросов прочности разнообразных машин и сооружений опирается на выводы теории пластичности, так как разрушению, как правило, предшествует пластическая деформация.
Общеизвестно народнохозяйственное значение использования процессов пластического деформирования металлов в горячем и холодном состоя-
ниях (прокатка, волочение, ковка, штамповка, резание металлов и т.д.); анализ необходимых усилий для осуществления этих процессов и соответствующего распределения деформаций составляет другую очень важную область применения теории пластичности.
Также известно применение теории пластичности в горнорудной промышленности, в задачах геофизики и геологии.
В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана, Леви [1].
Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой как для механиков так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.
Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Работы в этом направлении были начаты Генки, Мизесом, Прандтлем [1] и продолжены Надаи [2], [3], Хиллом [4], С.А. Христиановичем [5], С.Г. Михлиным [6], В.В. Соколовским [7], Гейрингер [8], Д.Д. Ивлевым [9], А.Ю. Ишлинским [10], Ю.Н. Радиевым [11] и др.
Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений как в двумерном так и в

Заметим, что при а = 0 новое решение (1-73) совпадает с исходным решением (1.57).
Так как оператор определяет симметрию системы (3), то для преобразованных переменных граничные условия можно положить аналогичными условиям (1.58) для исходного («недеформированного» решения):
0f-R — Ф + Т>
4 (1.74)
°f=R = -Р2 + к.
Подставляя (1.5) в (1.68) и переходя к полярным координатам, имеем:
г2 = (:х cos 0 + у sin в)2е2и + (у cos в — х sin 0)2е”2а = (х2 cos2 0+
+ у1 sin2 0 + 2асу cos в sin 0)е2“ + (у2 cos2 в — 2ху cos в sin 9+
+ х2 sin2 в)е~2а = (г2 cos2 (р cos2 в + г2 sin2 + 2г cos 4- (r2 sill2 tp cos2 0 + r2 cos2 ip sill2 0 — 2r COS (pr sin ip cos 0 sin 0)e_2a
= r2[e2o(cos2

+ e~2a (sin2 ip cos2 0 — 2 COS Ip sin (p cos 0 sin 0 + cos2 Ip sin2 0)]
= r2[e2a(cos = r2[e2“ COS2 {ip — 0) + e_2asin2((/3 —-0)].
Но т.к. вдоль кривой r = i? в силу первого уравнения из (1-73) имеем р — 0 = — arctge2a, учитывая (1.33), получаем, что:
f2 = r2[e2acos2 (— arctge2“) + e~2asin2 (— arctg e2“)]
— r2[e2a cos2 (arctg e2a) + e_2a sin2 (arctg e2“)] = r2[(ch 2a+
+ sli 2a) cos2 arctg e2n + (ch 2a — sh 2a) sin2 arctg e2n]
= 7,2[ch 2a(cos2 arctg e2a + sin2 arctg e2a)+
+ sh 2a(cos2 arctg e2a — sin2 arctg e2“)]
— r2[ch 2a + sh 2a(2 cos2 arctg e2a — 1)]