Двумерные задачи теории упругости прямолинейно-анизотропной среды с вырезами и включениями

• Автор: Задворняк, Михаил Иванович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Львов
• Количество страниц: 202 c. : ил

В современной промышленности широкое применение находят композиционные материалы, используемые для изготовления различных элементов несущих конструкций, содержащих вырезы (цилиндрические полости), инородные включения. В результате силовых воздействий в таких элементах конструкций возникают неравномерные поля напряжений, без детального изучения которых невозможно обеспечить прочность и надежность работы всей конструкции.
Первые исследования в этом направлении связаны с именами С.Г.Лехницкого, Г.Н.Савина, С.Г.Михлина, Д.И.Шермана [46-47,
75, 94, 113-114] и другими. С.Г.Лехницкий получил общие решения уравнений плоской задачи теории упругости анизотропной среды и изгиба тонких анизотропных пластин, представив их через комплексные потенциалы обобщенных комплексных переменных. Д.И.Шерман свел плоскую задачу теории упругости анизотропного тела к системе интегральных уравнений Фредгольма.
Подробный обзор ранних результатов по теории упругости анизотропного тела, полученных советскими учеными, приводится в работе М.М.Фридмана [110].
В ряде последующих работ С.Г.Лехницкого [44], Г.Н.Савина [ 96] и других исследователей [18, 51-52, 103] рассматривались конкретные задачи определения напряженного состояния в ортотроп-ной пластине с круговым и эллиптическим отверстием. Воздействие сосредоточенных сил и пар на анизотропную пластину с эллиптическим отверстием и таким же изотропным (жестким) включением рассмотрено в [16-17, 97]. Влияние упругого анизотропного эллиптического включения на распределения напряжений в анизотропной пластине изучено в [49].
Дальнейшее исследование концентрации напряжений в неогра-

ниченных анизотропных пластинах преимущественно возле эллиптических (круговых) отверстий приводится в работах [8-9, 77-78,
81, 91, 98].
Определение напряженного состояния в анизотропной пластине возле отверстия, отличного от кругового и эллиптического, представляет значительные трудности. Для таких задач С.Г.Лехницкий [45, 48] разработал метод малого параметра, позволяющий в случае плоской задачи привести ее к решению ряда задач для пластины с эллиптическим (круговым) отверстием. Этот метод успешно применен Б.И.Ермолаевым [19] к задачам об изгибе анизотропной плиты.
А.С.Космодамианский [34] предложил приближенный метод, основывающийся на получении приближенных значений функций, конформно отображающих внешность единичной окружности на внешность криволинейных контуров в рассматриваемых областях.
В настоящее время известно много публикаций в отечественных и зарубежных журналах [1-2, 4-5, 7, 14-15, 22-25, 29, 32,
37, 54-58, 67-70, 73, 80, 83, 93, 101, 108, 119, 123-125, 127-129, 134] , посвященных различным вопросам теории упругости и термоупругости анизотропного тела, задачи изгиба тонких анизотропных плит, разработке новых методик их решения, изучению влияния анизотропии материала на напряженное состояние. Многочисленные результаты систематизированы в монографиях [3, 6, 13, 30-31, 33, 42, 50, 82, 85, 89, 95, 99, 106, III, 115].
Плоская задача для многосвязных анизотропных пластин рассмотрена А.С.Космодамианским и Н.М.Нескородевым [40-41]. Такого рода задачи В.Е.Кацом и Л.А.Фильштинским [28], путем использования интегральных представлений для комплексных потенциалов, приводятся к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
В монографии [36] изложены методы определения температур-

ных напряжений в многосвязных средах, основанные на успешном применении полиномов Фабера.
В работах [12, 26, 39, 71, 74, 79, 84, 87, 112, 116-118, 120-122, 126, 130, 132-133] исследовано влияние упругих (жестких) включений на распределения напряжений в ортотропной (изотропной) плоскости и в полуплоскости. Задача изгиба конечной анизотропной пластины с криволинейным упругим включением рассмотрена в [38].
И.А.Прусов [88-90] обобщил метод линейного сопряжения на основные граничные задачи о нахождении напряжений и температурных полей в анизотропной полуплоскости, в плоскости, разрезанной на отрезках прямой, в круге и в плоскости с эллиптическим отверстием.
Л.А.Фильштинский [109] методами теории функций комплексного переменного свел задачу о продольном сдвиге анизотропной среды с разрезами к сингулярным интегральным уравнениям.
Исследованию поля напряжений в анизотропных телах (кручение, плоская задача, изгиб пластин) посвящена монография В.С.Саркисяна [100].
Температурные напряжения в анизотропных пластинах возле некруговых отверстий с помощью метода малого параметра исследованы в работе А.И.Уздалева [107].
Ввиду значительных математических трудностей, возникающих при решении задач о напряженном состоянии анизотропной пластины (тела) с криволинейным вырезом, отличным от кругового и эллиптического, такие задачи, как видно из приведенного обзора, решались в основном приближенными методами, в частности, методом малого параметра. Поэтому проблема построения эффективного аналитического решения задач о концентрации напряжений возле отверстий и упругих включений сложного очертания сохраняет свою ак-

На рис. 1.15 ( С3=-1/9) и рис. 1.16 ( С3 = 1/9 ) дано распределение напряжения в ортотропной среде вдоль квадратного контура спая с жестким ядром. Вычисления проведены для орто-тропного материала с различными упругими характеристиками:
= (А55/А^2 , /з = 4 и . Графики, представленные
на рис. 1.17, характеризуют то же в случае жесткого прямоугольного с закругленными углами ( 3 = а/& - J , см. табл. I приложения) цилиндрического включения.
1.10. Продольный сдвиг анизотропной среды с цилиндрическим анизотропным включением.
Пусть кусочно-однородная прямолинейно-анизотропная среда, находящаяся в состоянии продольного сдвига относительно координатной плоскости хОу , занимает в этой плоскости области $и) и $сг> соответствующие различным анизотропным материалам, линия разграничения которых описывается уравнением (1.59)
(рис. 1.18). Главные направления упругости областей ^ ( о< = 12 ) составляют
Рис. 1
между собой произвольный угол
р . Все величины, характеризующие включение , будем
обозначать индексом 2 вверху, область вне включения -
индексом I.
Вдоль линии Ь (поверхности спая) выполняются условия идеального упругого контакта 176]