Двумерные задачи теории упругости для областей с углами

• Автор: Арсенян, Владимир Артушович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Кировакан
• Количество страниц: 147 c. : ил

Повышение надежности машин, сооружений и снижение их материалоемкости и себестоимости является одним из важнейших народнохозяйственных проблем в области машиностроения и строительного дела. Решение этой проблемы в частности связано со снижением концентрации напряжений в элементах и деталях конструкций, позволяющим создавать более надежные, более легкие и удобные в эксплуатации, а также более экономичные конструкции. В этих конструкциях часто встречаются элементы, находящиеся в плоском напряженном состоянии. в которых концентрация напряжений вызвана наличием острых углов, выступов, вырезов или отверстий.
Решению плоских задач теории упругости для областей с углами (к которым сводятся вопросы определения концентрации напряжений) посвящено много исследований. Здесь необходимо отметить методы интегральных преобразований, реализуемые в работах G.М. Белоносо-ва [^] и H.G. Уфлянда [^], методы сведения к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений. нашедшие применения в работах A.A. Баблояна [^]. и В.Т. Гринченко [^], конечно-разностные методы, примененные в работе Л.А. Оганесяна и Л.А. Руховец [ ] и других, а также метод граничных интегральных уравнений. Для математического обоснования решений эллиптических краевых задач в областях с нерегулярной границей важное значение имеприведено доказательство разрешимости общих эллиптических краевых задач в областях с изолированными коническими точками или угловыми линиями и показано, что в окрестности этих точек (или линий) решение строится из регулярных и нерегулярных частей, причем, в нерегулярную часть входят решения однородных краевых задач для конуса (когда на поверхности коническая точка) или для
ет фундаментальное исследование В.А. Кондратьева
котором

клина (когда на поверхности угловая линия). Общие результаты,полученные в [^], уточнены в работах И.И. Воровича [^], И.И. Во-ровича, В.М. Александрова. В.А. Бабешко [20] применительно к случаю плоской задачи теории упругости для областей с угловыми точками.
г 37т
В недавней работе В.А. Кондратьева и O.A. Олейник [ J приводится обзор работ по дифференциальным уравнениям в областях с нерегулярной границей и подробно освещается современное состояние проблемы.
Решения однородных краевых задач для клиновидных областей представляют собственные функции соответствующей задачи, которые зависят от величины угла между полукасательными, проведенными к контуру в угловой точке и, характера краевых условий. Важная роль при решении краевых задач отводится проблеме определения коэффициентов однородных решений или коэффициентов асимптотики в ок-рестности угловых точек контура. В работах М. Штерна [ * J, М.
Штерна и М.Л. Сони [^], Г.Ф. Бюкнера [^] для различных случаев однородной краевой задачи предлагаются формулы определения этих коэффициентов. Вопрос об определении коэффициентов в общей
постановке решен в исследованиях В,Г. Мазьи и Б.А. Пламеневско-г 4Т 42 т
го v j, В которых предложен метод определения коэффициентов
асимптотики для общего случая эллиптических краевых задач. Ме-г41 42т
тод. развитый в [ ' j. нашел последовательное применение к задачам теории упругости, в работе Н.Ф. Морозова [^] и впервые был реализован в работе В.А. Дудникова и Н.Ф. Морозова [^], где основное интегральное соотношение, из которого определяется искомый коэффициент асимптотики, построено на основании формулы Бетти. В работе C.G. Заргаряна [^] конкретизируется метод предложенный в , на случай бигармонической задачи и системы
Ламе, а также предлагается вычислительный алгоритм по методу ин-

тегральных уравнений.
Интенсивное развитие вычислительных средств в последнее десятилетие способствовало развитию различных сеточных методов, нашедших широкое применение при численном решении многих задач теории упругости. Однако, для решения задач теории концентрации напряжений, развитые сеточные методы оказываются неэффективными из-за сильно изменяющихся полей напряжений и смещений. В зонах высоких градиентов эти методы требуют значительного увеличения степени дробления, что приводит к трудоемкости вычислительного процесса ввиду чрезмерного возрастания объема исходной информации. В этом отношении более эффективным оказывается метод граничных интегральных уравнений, представляющий собой недавно возникший вариант общего метода теории потенциала.
Первые исследования по интегральным уравнениям для областей с углами исходят к Т. Карлеману [^] и И. Радону (применительно к гармоническим задачам), где интегральные уравнения, выведенные для областей с гладкими границами, распространяются на случай областей с углами. Сложность такой модификации заключается в том, что внеинтегральные члены претерпевают конечные разрывы в угловых точках, а ядра интегральных уравнений меняют свои свойства.
Метод конформного отображения исходной области на полуплоскость и дальнейшее применение преобразования Лапласа при построении интегральных уравнений плоской задачи для областей с углами реализованы в работе С.М. Белоносова [^]. В этом исследовании получены первые примеры численной реализации решений задач теории упругости для областей с углами. Этот подход применяется также в
г *52 т
работе В.Г. Романова I ], где приводится численное решение интегральных уравнений, полученных в [**] , в предположении, что заданные граничные функции содержат более сильные разрывы, по срав-

2. Рассмотрим теперь вопросы об ускорении процесса сходимости последовательных приближений.
В некоторых случаях, когда отверстие в области имеет размеры, сильно отличающиеся друг от друга (например, когда длина прямоугольного отверстия в несколько раз превышает его ширину) или контуры отверстий сближаются, итерации могут сходиться медленно
таких случаях, убедившись, что сходимость итераций устойчивая,
г35т
применяются различные способы 11 ускоряющие процесс сходимости последовательных приближений. Представляет интерес способ, основанный на аналитическом вычислении суммы ряда (11.3) после проведения нескольких итераций. Вычисления показывают, что после первых нескольких приближений функции оипШ ряда (11.3) ведут себя во всех точках как члены геометрической прогрессии с единным знаменателем 1^]. Поэтому при медленной сходимости, установив достоверную величину знаменателя прогрессии, можно аналитически просуммировать прогрессию и получить точное значение плотности. Для определения знаменателя этой прогрессии проводятся простые одношаговые итерации. При этом, когда последовательные приближения сходятся относительно номера итерации неравномерно, определение знаменателя прогрессии затрудняется. Ввиду этого, целесообразно после каждой итерации корректировать значения функции Ш(1) по формуД = 2 ; /г = 12.3,
Здесь ооаШ _ значение функции &>№) после п - ой итерации, определяемое с помощью реккурентного соотношения:

ле (ср.см. [ ] ):
_ (11.28)