Гранично-элементное моделирование нестационарных трехмерных динамических задач теории упругости и вязкоупругости

• Автор: Литвинчук, Светлана Юрьевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 163 с. : ил.

Глава I Основные соотношения теории упругости и вязкоупругости
1.1 Теория упругости однородного тела
1.2. Определяющие соотношения линейной теории вязкоупругости
1.3. Численное обращение преобразования Лапласа
1.4. Исследование методом Дурбина фундаментальных матриц
решений трехмерной модифицированной теории вязкоупругости
1.5. Граничные интегральные уравнения вязкоупругости
Глава II Методика гранично-элементного моделирования
2.1. Гранично-элементная дискретизация
2.2. Учет симметрии задачи
2.3. Вычисление тензора напряжений на границе тела
2.4. Программная реализация
2.5. Решение тестовых задач
Глава III Решение прикладных задач
3.1 Задача о торцевом ударе призматического тела с жестко
закрепленным концом
3.2. Решение задачи о скачке давления внутри кубической полости
3.3. Задача о действии нестационарного давления на границе сферической полости, расположенной внутри вязкоупругого куба
3.4. Задача о динамической концентрации напряжений в плите с цилиндро-коническим отверстием
3.5. Решение задачи о действии давления на внутреннюю поверхность корпуса клапана (соединении двух толстостенных цилиндров)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Современные потребности машиностроения, строительства и др. стимулируют изучение распространения волн в трехмерных телах произвольной геометрии. Учет эффектов последействия еще более усложняет волновые картины и снижает эффективность многих расчетных методов. Одним из современных методов численно-аналитического анализа динамических задач трехмерной теории упругости и вязкоупругости является метод граничных элементов (МГЭ). Библиометрический анализ показывает, что МГЭ по востребованности уверенно занимает третью позицию (после метода конечных элементов и метода конечных разностей) среди численных методов.
С историей методов ГНУ и МГЭ можно познакомиться по работам [6, 7, 10, 28, 35, 36, 40, 43, 56, 57, 60, 72, 77, 78, 83, 97, 99, 100, 109, 125, 131]. Введением в современное состояние вопроса могут быть публикации [33, 73, 76-80, 84-86,94, 95, 101, 106, 108, 116, 117, 120, 121, 128, 131].
Специфика МГЭ - это понижение размерности пространства в записи интегрального уравнения. Это приводит к более эффективной численной дискретизации.
Основные достижения и современное состояние численных методов отражены в учебниках и монографиях [3,4, 5, 13, 14, 51, 52, 54, 64, 65] и др.
МГЭ в его нынешнем виде впервые появился в работе II.И. Мусхелишвили в 1937 году, а затем в 1940 году в работе А.Я. Горгидзе и А.К. Рухадзе.
Уменьшение размерности ведет к системам линейных алгебраических уравнений меньшего порядка, меньшему количеству компьютерных затрат и более эффективному вычислению. Этот эффект наиболее очевиден, когда область неограничена. МГЭ автоматически моделирует поведение на бесконечности без необходимости развертывания сетки для аппроксимации

области. Так как в МГЭ нет необходимости иметь дело с внутренней сеткой, то настройка сетки намного проще.
Ведущая роль МГЭ как специализированного и альтернативного метода по сравнению со всеми другими численными методами для дифференциальных уравнений в частных производных является бесспорной. После «изобретения технологии» в конце 1960-х - начале 1970-х гг. число публикаций по МГЭ было мало, но скорость их роста вела себя экспоненциально. Рост достиг точки перегиба около 1991 года. После чего ежегодные публикации продолжали расти, но с меньшей скоростью. Признаком зрелости технологии является постоянство ее продукции. Число ежегодных публикаций МГЭ достигло устойчивого уровня.
Термин МГЭ имеет два смысла: узкий и широкий. В узком смысле МГЭ - это численная методика, основанная на методе взвешенных невязок. Используемая функция невязок - фундаментальное решение исходного уравнения. Можно также рассматривать МГЭ как численное решение ГИУ, основанное на формуле Грина, в которой кусочно-элементная концепция МКЭ используется для дискретизации. Более широко МГЭ используется как универсальный термин для разнообразных численных методов, которые используют граничную или подобную граничной дискретизацию.
Развитие теории сингулярных интегральных уравнений началось благодаря введению понятий сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Идея интерпретации сингулярного интеграла была введена Коши в 1814 г. В современном научном обороте такой интеграл называется существующим в смысле «главного значения Коши». Гиперсингулярный интеграл существует в смысле «конечной части Адамара». Это понятие было введено Ж.С. Адамаром в 1908 г. Исследование одномерного сингулярного интегрального уравнения (с ядром Коши) было заложено в работах Гильберта (1904, 1905) и Пуанкаре (1910). Начало исследования восходит к работе Ю.В. Сохотского (1873).

модифицированная формулировки теории и описаны простейшие классические и модифицированные модели. Изложена теория вязкоупругости с позиций дробного дифференцирования. Представлена взаимосвязь различных современных моделей вязкоупругости. Рассмотрен вопрос численного обращения преобразования Лапласа: дан краткий обзор, представлен метод Дурбина и показаны его возможности при построении оригиналов кусочно-постоянных функций. Продемонстрированы возможности метода Дурбина при численном моделировании матрицы фундаментального решения уравнения движения для вязкоупругой среды, описываемой модифицированной моделью Кельвина-Фойгта.
Приведен краткий обзор состояния вопроса по методу ГИУ для динамических задач вязкоупругости и построены ГИУ вязкоупругости с совместным применением интегрального преобразования Лапласа.