Гашение колебаний механических систем

• Автор: Гаврилов, Дмитрий Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 86 с. : ил.

Введение
Нахождение силы, осуществляющей перевод системы из одного заданного состояние в другое заданное состояние, является одной из важнейших задач теории управления. В частном случае, когда система переходит из состояния покоя в состояние покоя, говорят о задаче гашения колебании.
Среди многочисленных методов, позволяющих решать такие задачи, H.H. Моисеев |14| выделяет принцип максимума Понтрягина и теорию локальных экстремумов, изложенную Ф.Л. Черноусько в книге |35|. К важнейшим методам управляемых процессов можно отнести и метод динамического программирования, предложенный Р. Веллманом [3| и развитый им в дальнейшем совместно с его учениками в целом ряде более ноздштх монографий.
Задача о гашении колебаний тележки с маятниками при ее перемещении за заданное время на заданное расстояние была поставлена и решена на основе принципа максимума Понтрягина в монографии [34]. Интересно, что полученное решение представляется в виде суммы гармоник по собственным частотам системы, что при длительных временах движения вызывает раскачку системы.
Гашение колебаний консоли постоянного сечения при перемещении ее основания за заданное время па заданное расстояние при использовании интегродифференцнальиых соотношений рассмотрено в работе [13]. Оптимальное управление, которым в данной задаче является ускорение основания консоли, искалось в виде ряда по времени, а определялось из условия минимальности полной энергии упругого стержня в момент остановки основания.
Статья [211 н монография [22] развивают эти идеи для задачи гашения колебаний тележки с маятниками. В них показывается, что решение, полученное с помощью принципа максимума Понтрягина, соответствует наложению на движение системы неголономной связи высокого порядка. Используя это, в работах [21, 22| предлагается решать задачу с помощью обобщенного принципа Гаусса. Оказалось, что при использовании обобщенного принципа Гаусса управление является степенной функцией времени. Тем самым удалось математически обосновать применение управления в виде ряда по времени, которое, по сравнению с управлением полученным при использовании принципа максимума Понт-рягина, имеет более гладкий характер, что позволяет его использовать при реализации управления реальными механическими системами.
Этот подход к выбору оптимального управления был проанализирован и развит в ста-
тье [20] для задачи гашения колебании консоли постоянного сечения. В нон для описания прогиба упругой консоли использовались не пнтегроднфференцпальпые соотношения, а обобщенные лагранжевы координаты и уравнения Лагранжа второго рода. Показывается, что задача гашения п форы колебании консоли может быть сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений порядка 2п + 2.
Данная работа продолжает эти исследования. В ней идеи, предлагаемые другими авторами, были существенно проанализированы и развиты. Это позволило разработать новый подход к задаче гашения колебаний механических систем. Его особенность состоит во введении системы базисных функций, которые имеют аналитическое представление. Такое рассмотрение задачи гашения позволило: во-первых, свести решение задачи гашения п форм колебаний к решению системы линейных алгебраических уравнений порядка п, во-вторых, исследовать зависимость решения от параметров задачи и определить особые значения параметров, для которых решение неограниченно возрастает, в-третьих, построить решение, не имеющее особенностей для любых значений параметров задачи.
Использование обобщенных лагранжепых координат для исследования задачи гашения колебании упругих тол позволяет существенно упростить математическую модель описываемого процесса. Но для использования этого подхода необходимо знать собственные частоты и собственные формы колебаний исследуемой системы с высокой точностью. При этом наибольший интерес представляют низшие частоты, в особенности, первая собственная частота.
В настоящее время разработан целый ряд подходов к решению этих задач. Эти подходы условно можно разделить на три группы: точные методы (основанные, как правило, на разложении колебании по собственным формам), приближенные методы, использующие априорно задаваемые формы колебаний (например, основанные па предположении о подобии формы колебаний форме статического прогиба) и численные методы (метод конечных разностей и конечных элементов). Несмотря на такое количество методов для решения эти задачи не теряют своей актуальности. В этой работе используются два сравнительно новых метода, предложенных в монографиях [22, 23] и основанных па использовании множителей Лагранжа.
Первый из них, позволяет эффективно определять собственные частоты для систем упругих тел, состоящей из элементов, для которых известны их собственные частоты II формы. При этом искомые собственные формы системы выражаются через известные частоты ее элементов, а для получения приближенного значения собственных частот с высокой точностью можно использовать квазистатическпй учет высших форм колебаний.

Эффективность квазистатического учета высших форм собственных колебаний в динамических задачах упругости была показана в работах С.А. Зегжды, М.П. Юшкова и их учеников.
Для определения низших частот механических систем, состоящих из связанных друг с другом тел, может быть также применен второй метод, основанный на рассмотрении реакций связи в качестве обобщенных лагранжевых координат. Этот квазпстнтический подход предполагает, что реакции связей уравновешиваются силами инерции системы. Деформации системы при этом соответствуют состоянию квазистатического равновесия реакций и сил инерции. Величины реакций определяются таким образом, чтобы суммарные перемещения точек системы, вызванные ее движением, как абсолютно твердого тела и ее деформациями, удовлетворяли уравнениям связей.
Впервые такой подход был применен Герцем при решении задачи о соударении шаров. Возникающая при деформации шаров сила уравновешивается инерцией поступательного движения соударяющихся тел. При этом деформации считаются такими, какими они были в статике под действием силы соударения и сил инерции. В работах С.А. Зегжды и В.Н. Вернигора показывается, что данный подход может эффективно применяться в задачах динамики упругих систем. В частности, данный подход продемонстрировал свою эффективность для различных задач динамики балок (5|, [16|-[20].
Цель работы состоит в том, чтобы исследовать задачу гашения колебаний для различных механических систем с использованием обобщенного принципа Гаусса.
Основные результаты, выносимые на защиту:
1. Показано, что математическая модель задачи о гашении конечного числа собственных форм колебаний упругой консоли переменного сечения при кинематическом перемещении ее основания эквивалентна модели гашения колебаний конечного числа соосных математических маятников, ось которых перемещается также как основание консоли.
2. Введены в рассмотрение базисные функции порядка т, т = 0, оо. Они являются функциями времени. Каждой из них задается то ускорение при движении точки по прямой, при котором, в соответствии с обобщенным принципом Гаусса порядка 2т + 2, производная от ускорения по времени того же порядка равна нулю. При данном ускорении точка за время, равное единице, проходит путь, равный единице, причем как в начале, так и в конце пути скорость точки и все производные от нее по времени до порядка т равны нулю.
Более того, оказалось, что управления получаемые при минимизации по 2т; параметрам, совпадают с управлениями, получаемыми при гашении первых п форм колебаний, практически для любых Л = т/'1 > 0.8.
Таблица 1: Энергия колебаний Еп(т) при гашении первой формы и при минимизации по двум параметрам
11 = 1 Расширенная m = 2 Расширенная m — 1 Обычная
А Гашение Миним. Гашение Миним. Гашение Миним.
0.6 0.395 0.430 0.70610“2 0.70610-2 1.758 2.
0.8 0.857 10-2 0.860 10-2 0.243 К)“1 Ü.245 10-1 0.274 0.
1.0 0.820 1(Г° 0.820 10“° 0.969 10-2 0.97710-2 0.16310 1 0.168
1.12 0.479 10“3 0.479 10-3 0.734 10-3 0.735 10“3 0.282 10 1 0.362 10
1.2 0.139 10"3 0.139 10“3 0.180 10“2 0.181 10-2 0.148 10-2 0.1
1.5 0.45210-° 0.452 10“° 0.267 10“3 0.272 10-3 0.256 10“3 0.256 1Q-
2.0 0.133 10 6 0.133 10“« 0.724 10-5 0.724 10“5 0.18510 3 0.184 ИГ
Таблица 2; Энергия колебаний Еп(т) при гашении двух форм и при .минимизации по четырем параметрам
п = 2 Расширенная m = 2 Расширенная m = 1 Обычная
А Гашение Мшим. Гашение Миним. Гашение Миним.
0.6 0.15910 1 Ü.16310-1 0.318 10-2 0.319 10-2 0.70910-2 0.700
0.8 0.115 10 3 0.1261Q-3 0.251 10-5 0.251 10-« 0.325 10-2 0.296 10
1.0 0.30610 ° 0.306 10-« 0.46310-° 0.46110-« 0.639 0.
1.12 0.1541 (Г5 0.15410 5 0.484 10-5 0.482 10_Б 0.118 10“3 0.11410
1.2 0.448 10"7 0.447 1Ü-7 0.186 10“5 0.186 10“5 0.372 10~3 0.402 10'
1.5 0.308 10“8 0.30810 8 0.17510“7 0.174 10-7 0.31310-3 0.283 10'
2.0 0.206 10~а 0.20610-9 0.226 КГ8 0.226 10“8 0.446 10-5 0.325
В таблицах 1 и 2 приведена энергия колебаний Еп(т) при гашении первой собственной формы и первых двух собственных форм соответственно. Заметим, что значение А = 1.12 соответствует случаю рассмотренному в статье [13].