Встречные формы метода конечных элементов в теории упругости

• Автор: Никольский, Михаил Данилович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1992
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 297 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
В В 9 д е Н И
Глава I. Двойственные вариационные принципы и встречные энергетические методы в задачах линейной теории упругости
Глава П. Форш МКЭ, основанные на принципе Менабреа.
Использование статико-геометрических аналогий
Глава Ш. Формы МКЭ, основанные на принципе Кастильяно.
Равновесные модели метода перемещений
Глава 1У.Сопряженные формы МКЭ в квазистатических
задачах линейной теории упругости
% Глава У. Реализация встречных форм МКЭ в практических
расчетах
Глава У1.Встречные формы МКЭ в нелинейной теории
упругости
3 а к л ю ч е н и е
Литература
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Пели и задачи исследования. Метод конечных элементов (МКЭ) стал в настоящее время одним из самых распространенных методов решения прикладных задач линейной теории упругости. Однако его формулировка основывается почти всегда на использовании прямого энергетического метода решения краевой задачи линейной теории упругости в перемещениях, т.е. на принципе минимума полной потенциальной энергии системы 1(и.) . Обобщенное решение _и,0 за-
дачи линейной теории упругости сообщает минимум функционалу I (сс) так, что тиг1(и) - 1(.ЬС0) ~ ~~л/ , где квадратные скобки обозначают скалярное произведение в энергетическом пространстве данной задачи.
Методы решения краевых задач линейной теории упругости, основанные на минимизации функционала дополнительной работы 3(ё) с минимумом, равным V , по определению С. Г. Михлина /37/, называются встречными по отношению к прямому энергетическому методу. Их использование дает оценку функционала энергии Л(ц.) или энергетической нормы точного решения Ци-Л , с другой стороны. Зная два приближенных решения одной и той же задачи, одно из которых построено по прямому, а другое - по встречному энергетическому методу, можно дать апостериорную оценку точности обоих приближений. Встречные формы МКЭ, основанные на аппроксимации напряжений и использовании встречных энергетических постановок, приводят к равновесным моделям, которые обладают рядом особенностей в сравнении с известными совместными моделями МКЭ. Однако такие встречные формы МКЭ не получили еще достаточно широкого распространения, а общей теории их построения и математического обоснования в настоящее время нет.

Первой основной целью настоящей работы является систематическое исследование встречных энергетических постановок задач линейной теории упругости, построение и развитие форм МКЭ, основанных на таких постановках, а также выявление свойств и особенностей новых равновесных моделей МКЭ. Такое систематическое исследование выполняется, по-видимому, впервые в мировой практике. Оно выполняется с позиций функционального анализа и современной математической физики /72, 82/ и основывается на соответствующем анализе традиционных форм МКЭ, приведенном в работах /34, 79/.
Постановки нелинейных задач теории упругости отличаются большим разнообразием. При использовании лагранжева подхода с описанием нелинейного поведения упругих систем в метрике натурального состояния вариационный принцип Лагранжа непосредственно обобщается на нелинейные задачи теории упругости. Двойственные или встречные вариационные постановки задач нелинейной теории упругости оказываются возможными лишь при весьма существенных ограничениях, связанных с выпуклостью функционала полной энергии системы /8/. Формы МКЭ, основанные на аппроксимации перемещений и использовании вариационного принципа Лагранжа, получили некоторое распространение в практике инженерных расчетов нелинейно упругих конструкций и систем. Однако сложности, связанные с многовариантностью постановок задачи и неоднозначностью трактовок многих определяющих понятий в нелинейной теории упругости, не позволяют считать такие формы МКЭ ни единственно возможными, ни достаточно обоснованными. Очевидно, что встречные формы МКЭ применительно к задачам нелинейной теории упругости могут быть развиты лишь при весьма существенных ограничениях области их возможного применения. В настоящее время нам не известны какие-либо успешные попытки развития таких форм для нелинейно упругих систем.

тождества
А*А*+= Е '• , где Е - тождественный оператор в

НА*(Й) ;
.А*+А* ~ Р : 2.^ И*-’" и , где р - проектор из ^1г в Р ;
А*+=А+‘: н!- и ( Цили Ц ).
Учитывая геометрическую интерпретацию нормального псеццореше-ния (рис. 1,6), можно построить два новых метода его отыскания по известному частному решению Та уравнения (1.5.1) или (1.5.5).
Эти методы полностью аналогичны методам ортогонального проектирования в задачах о заданной начальной деформации зе (см. п. 1.4).
Расстояние от Х0 до подпространства определяется вы-
min.jr.-el*- |с0-еЛ!= • (1-5-7)
где». есть проекция на Ц , а о)о - проекция
на ортогональное подпространство и ^ . Элементу 6С £ Ц по
(1.3.2) и (1.4.2) соответствует единственный элемент ц0€ НА(£сО , который является обобщенным решением соответствующей задачи Ляме
и.„-А‘,1)'5'0 , А*САи0 = АЧ= Р„ и-6-*»
Этот элемент минимизирует функционал невязки
1(и) = 1Бг0-Аи.|‘ (1.5.9)
на всем пространстве Н А (5^) . Таким образом, приходим к вариационной задаче Лагранжа на определение функции 1Х0 , сообщающей
минимум функционалу (1.4.3), или