Перераспределение конечных деформаций при нелинейно-упругом взаимодействии матрицы и включения

• Автор: Мишин, Иван Андреевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Rbc/iciiiic
Глава 1. Основные соотношения теории наложения конечных деформаций, необходимые для решения задачи об образовании включения в предварительно наг руженном теле
1Л. Используемые основные термины и обозначения
1.2. Кинематика деформаций
1.2.1. Векторные базисы
1.2.2. Аффиноры деформаций
1.2.3. Тензоры деформаций
1.2.4. Представление тензоров деформаций через градиенты смещений
1.2.5. Другие тензорные характеристики деформаций
1.2.6. Изменение элементарного объема и элементарной площадки
при деформации
1.3. Определяющие соотношения
1.4. Уравнения равновесия и граничные условия
1.5. Плоская деформация и плоское напряженное состояние
Глава 2. Постановка задачи об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле
2.1. Модель образования включения
2.2. Общая постановка задачи
2.3. О применении метода Синьорини
2.4. Постановка задачи в приближениях
Глава 3. Алгоритм решения задачи об образовании упругого включения в
предварительно нагруженном теле. Результаты расчетов
3.1. Сжимаемые материалы
3.2. Несжимаемые материалы
3.3. Анализ результатов расчетов
3.3.1. Сравнение методов
Заключение
Список ли тературы
Приложение 1. При.менеине системы аналитических вычислений для решения
задачи об образовании включения в предварительно нагруженном
геле
Приложение 2. Приближенные аналитические выражения
характеристик НДС рассматриваемой задачи
для различных определяющих соотношении

В диссертационной работе впервые получено решение плоской задачи об образовании в предварительно нагруженном теле кругового нелинейноупругого включения. Свойства материала описываются различными моделями сжимаемых и несжимаемых нелинейно-упругих соотношений. Форма включения задается в момент образования. Учитывается, что возникновение включения приводит (по крайней мере, в его окрестности) к появлению в теле больших дополнительных деформаций, которые «физически» накладываются на уже имеющиеся в теле большие. Постановка задачи осуществляется па основе теории многократного наложения больших деформаций [32,33].
В середине 40-х годов XX века, наряду с «классической» линейной теорией упругости, стали появляться работы, в которых предпринимались попытки решать задачи с учетом либо «физической», либо «геометрической» нелинейности моделей. Немного позднее пришло осознание существования единой нелинейной теории упругости, были заложены ее основы. Это стало мощным толчком в постановке и решении нелинейных задач, что нашло отражение в работах таких отечественных и зарубежных ученых, как Г.М.Бартенев, В.Л.Бидерман, В.Д.Бондарь, И.И.Блох, М.Ф.Бухина, И.И.Ворович, И.И.Гольденблат, А.Н.Гузь, Н.В.Зволинский, Л.М.Зубов, Ю.И.Койфман, Ю.А.Крутков, Л.И.Кутилин, А.И.Лурье, Н.Ф.Морозов, В.В.Новожилов, В.А.Пальмов, П.М.Риз, Г.Н.Савин, Л.И.Седов, Л.А.Толоконников, Т.Н.Хазанович, И.А.Цурпал, К.Ф.Черных, P.J.Blats,
A.E.Green, W.L.Ko, М.А.Moony, F.D.Murnaghan, W.Noll, R.S.Rivlin, L.R.G.Treloar, C.Truesdell, O.Watanabe, W.Zema и др. Ha сегодняшний день общее число публикаций по нелинейной теории упругости огромно, разработаны модели и многие методы решения задач в данной области.
Интерес к построению моделей, учитывающих положения нелинейной теории упругости, обусловлен также и использованием в современных технологиях высокоэластичных маетриалов, испытывающих в процессе эксплуатации большие упругие деформации [63]. Описания подобного рода мо-

делен для высокоэластичных материалов можно найти в работах Р.Ривлина [97], М.Муни [95], Л.Трелоара [82,83], В.В.Новожилова [60,61], Л.И.Седова [69], А.И.Лурье [47], А.Грина и Дж.Адкинса [1,14], К.Трусделла [84], Д.И.Кутилина [29]. Большой вклад в развитие нелинейной теории упругости внесла и тульская школа механики, основанная Л.А.Толоконниковым [77,78, 79,80]. Задачи, поставленные и решенные тульскими учеными, можно найти в работах Г.С.Тарасьева [71,72,73], Н.М.Матченко [49,50,51], A.A.Маркина [52,53,54], В.А.Левина [32,33] и их учеников.
Зарождение в рамках теории упругости концепции наложения деформаций было обусловлено тем, что при рассмотрении многих практически важных задач исследователи сталкивались с проблемой, когда тело уже имело начальные деформации и напряжения. В случае, если эти начальные деформации и напряжения малы, достаточно использования классической линейной теории упругости. Если же нет, то в качестве упрощения удобно принять, что начальные деформации большие, а вновь приобретенные - малые. Это привело к созданию теории наложения малых деформаций на большие, результаты которой нашли широкое практическое применение. Развитие теории наложения малых деформаций на большие началось с середины 60-х годов прошлого века. Наиболее подробно вопросы теории были исследованы в работах киевской школы механиков под руководством А.Н.Гузя [17-21]. Многократное наложение малых деформаций на большие рассмотрено, например, в [10]. Однако ко многим задачам такая теория не применима, например, для задач, когда концентраторы напряжений (полости, включения) образуются в теле, уже имеющем большие деформации и напряжения. А это значит, что есть необходимость в развитии и применении теории наложения больших деформаций. Создание и развитие теории многократного наложения больших деформаций было осуществлено Г.С.Тарасьевым [71,72] и
В.А.Левиным [31,32,44,45,81 ].
Особенностью теории многократного наложения больших деформаций является рассмотрение нескольких состояний тела: начального (ненапряжен-

упругой матрице с учетом наложения конечных деформаций в случае плоской деформации сжимаемого материала.
3.2. Несжимаемые материалы Рассмотрим алгоритм нахождения первого приближения для несжимаемого материала на примере материала Муни.
Получив решение линейной задачи, для дальнейших вычислений необходимо для матрицы и включения определить величины , <Тц2^, ,
входящие в постановку задачи в первом приближении (2.119)-(2.124). Для этого выполняется следующая последовательность действий:
1. Вычисляется тензор ЧД’з для матрицы и включения по формуле
(3.1):
(з.зз)
где Д'ад известно; = Уг/20).
-(О
2. Определяется функция Д 1,2 для матрицы и включения по формуле
(2.97):
1,2
1,2 * 1 1,2*
(3.34)
3. Находится тензор /^о,2 для матрицы и включения по формуле (2.101)
-0) -10 ~ ОН
^0,2-То,2+%,2 +^2Г‘1Р£.
(3.35)
4. Определяется тензор для матрицы и включения по формуле (2.109):
-(0
СУ 0,2 =
-0) ,
Р,и+ -(!-/?)

^о,2:
(0)2
(3.36)
.(О
5. Рссчитывается тензор 2о,г для матрицы и включения по формуле (2.112):