Аффинные преобразования в осесимметричной задаче трансверсально-изотропного упругого тела

• Автор: Зайцев, Олег Вячеславович
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 162 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
1.1. Граничные условия в контактных смешанных задачах теории упругости
1.2. Плоские статические контактные задачи для изотропной полуплоскости
1.3. Плоские статические контактные задачи для анизотропного упругого тела
1.4. Пространственные статические контактные задачи теории упругости
1.5. Математические методы в контактных задачах теории упругости
1.5.1. Асимптотические методы в смешанных задачах теории упругости..
1.5.2. Метод парных интегральных уравнений в смешанных задачах теории упругости
1.6. Аффинные преобразования и метод малого параметра в плоской задаче теории упругости
1.6.1. Постановка задачи в напряжениях
1.6.2. Постановка плоской задачи теории упругости в перемещениях
2. ИЗОМОРФНЫЕ МОДИФИЦИРОВАННЫЕ I [рос] РАНСТВА АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД
2.1. Модифицированные пространства в декартовой системе координат
2.1.1. Ортотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах
2.1.2. Трансверсально-изотропный материал в изоморфных модифицированных пространствах
2.2. Трансверсально-изотропный материал в модифицированных пространствах цилиндрической системы координат
2.3. Анализ некоторых изоморфных модифицированных пространств трансверсально-изотропного материала в цилиндрической
системе координат
3. ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ
3.1. Вывод приближённых уравнений пространственной теории упругости траисверсально-изотропной среды на основе асимптотического метода

3.2. Осесимметричная пространственная задача для
трансверсально-изотропной среды
3.3. О структуре главных уравнений для высших приближений
3.4. Иллюстрация предложенного метода на примере решения задачи о действии сосредоточенной силы на границу трансверсально-
изотропного полупространства
3.4.1. Постановка задачи и граничные условия
3.4.2. Решение задачи в нулевом приближении
3.4.3. Решение задачи в первом приближении
3.4.4. Решение задачи во втором приближении
3.4.5. Построение приближённого решения и сопоставление
его с точным решением задачи
4. НЕКОТОРЫЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-
ИЗОТРОПНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА
4.1. Действие гладкого кругового штампа с плоским основанием на
границу трансверсально-изотропного полупространства
4.1.1. Постановка задачи и граничные условия
4.1.2. Решение задачи в нулевом приближении
4.1.3. Решение задачи в первом приближении
4.1.4. Решение задачи во втором приближении
4.1.5. Построение приближённого решения и сопоставление
его с точным решением задачи
4.2. Контактная задача для параболического кругового штампа
при отсутствии сил трения
4.2.1. Постановка задачи и граничные условия
4.2.2. Решение задачи в нулевом приближении
4.2.3. Решение задачи в первом приближении
4.2.4. Решение задачи во втором приближении
4.2.5. Построение приближённого решения и сопоставление
его с точным решением задачи
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Современная техника предъявляет всё более жёсткие требования к точности, с которой должно быть определено напряжённо-деформированное состояние конструкций и сооружений. Большие возможности с этой точки зрения предоставляют интенсивно развивающиеся численные методы, предполагающие использование ЭВМ. Но с другой стороны, остаётся насущной и даже возрастает потребность в качественных методах, точных или приближённых решениях, которые позволяют выявить основные механизмы работы конструкций и выбрать наиболее эффективный алгоритм численного исследования. Естественным математическим аппаратом, позволяющим построить обоснованные приближённые уравнения и оценить области использования различных гипотез, является асимптотический анализ. Асимптотические методы получили весьма широкое развитие и применение в теории пластин и оболочек (прежде всего в работах А.Л. Гольденвейзера, И.И. Воровича, В.М. Александрова и др. [35-37, 6-15]). Асимптотическое интегрирование уравнений равновесия является одним из наиболее эффективных способов построения приближённых аналитических решений.
В современных конструкциях наряду с материалами, обычно при расчётах принимаемыми за однородные и изотропные, используются для изготовления деталей и анизотропные материалы. У них наблюдается резкое различие в упругих свойствах для разных направлений. Примером таких материалов может служить натуральная древесина; общеизвестно, что модуль упругости древесины при растяжении вдоль волокон значительно больше соответствующего модуля при растяжении поперёк волокон. Упругие постоянные древесины зависят от направления по отношению к древесным волокнам. Анизотропными (и притом неоднородными) являются синтетические материалы, применяемыми в
На компоненты тензора деформаций наложены ограничения (уравнения совместности)
дгп +д|£22 = 23,3,£12,
3, £33 + З3£|| = 2Э1Э3£|3 ,
^2£33 "*■ ^Зе22 = 2Э233£23 , (2.6)
^2®зе| I = ^1 (—^1£23 "*■ ^3®12 “*■ ^2£ 13 ) )
3,Э3£22 =32(-З2£31 +З3е21 +З,£23),
фб2£33 ” ^з(~~^3^12 ^1^32 <^2^3 [ ) ^

Используя принцип пропорциональность, выявленный Р. Гуком [89], можно записать связь напряжений и деформаций в упругом анизотропном теле
ак( = *6^, (2-7)
по повторяющимся индексам 1 и .] следует суммировать. Закон Гука для изотропного материала можно представить в тензорной форме:
=1ь8кЛ] + Р-(8к5в + 5кА)]-еи (2-8)
или <ук< = Ш>к, +2|д.е,]. (2.9)
В зависимостях (2.7) - (2.9) сгк(!(М = 1,2,3), е0О,у = 1,2,3) - компоненты, соответствующих тензоров второго ранга (акД (еД СД (к,I,У = 1,2,3) -упругие характеристики, образуют тензор четвертого ранга (СкгД /. и р -константы Ляме, 0 = еп + е22 + е33 = 6йеа = ей.
В уравнениях (2.7) Ст, = (Дк =Ск,й =Ск<#- упругие постоянные (коэффициенты жесткости). В общем случае упругое анизотропное тело характеризуется 21-й независимой упругой постоянной. Далее материал,