Интегрируемость и неинтегрируемость уравнений движения тяжелого тела эллипсоидальной формы на гладкой горизонтальной плоскости

• Автор: Ивочкин, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Обзор методов, используемых для исследования интегрируемости и неинтегрируемости дифференциальных уравнений
1.1. Интегрируемость дифференциальных уравнений
1.2. Неинтегрируемость дифференциальных уравнений
Глава 2. Топологический анализ движения эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости
2.1. Введение
2.2. Постановка задачи. Схема исследования
2.3. Построение бифуркационных диаграмм, изучение перестроек торов
2.4. Исследование изоэнергетических многообразий
Глава 3. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого трехосного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости
3.1. Введение
3.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы
3.3. Доказательство неинтегрируемости
Глава 4. Необходимые условия существования дополнительного интеграла в задаче о движении тяжелого динамически и геометрически симметричного эллипсоида на гладкой горизонтальной плоскости

4.1. Введение
4.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы
4.3. Доказательство неинтегрируемости
Глава 5. Необходимые и достаточные условия полной алгебраической интегрируемости уравнений движения тяжелого неоднородного шара на гладкой горизонтальной плоскости
5.1. Введение
5.2. Постановка задачи. Уравнения движения и их первые интегралы
5.3. Доказательство теоремы
5.4. Доказательство теоремы
Заключение
Литература

Введение
Постановка задачи
Задача о движении тяжелого твердого тела на гладкой горизонтальной плоскости — одна из классических задач механики. Эта задача в определенном смысле представляет собой обобщение задачи о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Естественным образом встает вопрос об исследовании возможных интегрируемых случаев. Известно, что в этой задаче существуют аналоги случаев Эйлера и Лагранжа. Однако случаев нетривиальной интегрируемости (скажем, аналога случая Ковалевской) пока обнаружено не было.
В настоящей работе рассматриваются задачи анализа интегрируемых случаев уравнений движения тела эллипсоидальной формы (в частности шара) на гладкой горизонтальной плоскости.
Известны разные методы для изучения интегрируемых случаев. Одними из наиболее продвинутых и наглядных являются методы топологического анализа: с помощью этих методов исследуются перестройки инвариантных многообразий (метод С. Смейла), строятся топологические инварианты (метод А.Т. Фоменко).
Для доказательства неинтегрируемости задачи (в случаях, отличных от аналогов случаев Эйлера и Лагранжа) используются методы В.В. Козлова,
С.Л. Зиглина, Моралиса-Руиза-Рамиса.
Этот вопрос был исследован в работе [14], [83], в которой в первом приближении по малому параметру найдены необходимые условия интегрируемости. Вопрос, являются ли найденные условия и достаточными для интегрируемости, рассматривался в работах [29], [8]. В диссертации во втором приближении найдены более сильные и простые необходимые условия интегрируемости, что приводит к вырождению в данной задаче для первого приближения случая
Рис. 2.1. Эллипсоид на плоскости
Движение центра масс тела в сопутствующих осях описывается следующим уравнением:
mv = N — тд'у.
В проекции на оси OX, 0Y получаем vx = % = 0. Таким образом, можно выбрать инерциальную систему координат с началом в центре масс тела, движущуюся равномерно вдоль горизонтальной плоскости. В проекции на OZ имеем:
vz = z, mvz — N — mg.
Выражая отсюда значение N и подставляя его в закон изменения главного кинетического момента относительно точки S, а также учитывая условие постоянства вертикального единичного орта, получим уравнения Эйлера-Пуассона:
JcJ + и х Jш = г х (mz + тд)7, 7 + ш х 7 = 0 (2.1)
В общем случае для произвольного распределения масс нужно еще задать косинусы углов между главными осями эллипсоида и главными осями инерции тела, а также координаты геометрического центра в главных осях инерции и по ним найти выражения для г(7). В рамках сделанных предпо-