Стационарные движения подвешенного на стержне тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью

• Автор: Сумин, Тарас Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Глава 1. Постановка задачи
1.1. Уравнения движения
1.2. Первые интегралы и эффективный потенциал
1.3. Общие свойства стационарных движений
1.4. Уравнения стационарных движений
Глава 2. Тривиальные стационарные движения
2.1. Общие свойства тривиальных стационарных движений
2.2. Тривиальное стационарное движение I
2.3. Тривиальное стационарное движение II
2.4. Тривиальное стационарное движение III
2.5. Тривиальное стационарное движение IV
2.6. Точки ветвления
Глава 3. Нетривиальные стационарные движения
3.1. Общие свойства нетривиальных стационарных движений
3.2. Поведение нетривиальных относительных равновесий в окрестностях точек бифуркации
3.3. Поведение нетривиальных стационарных движений в окрестностях точек бифуркации
3.4. Предельные стационарные движения
3.5. Типичные бифуркационные диаграммы
Глава 4. Некоторые частные случаи
4.1. Движение вокруг неподвижной точки

4.1.1. Уравнения движения
4.1.2. Эффективный потенциал
4.1.3. Устойчивость тривиальных стационарных движений
4.1.4. Ветвление стационарных движений
4.2. Случай идеальной жидкости
4.2.1. Уравнения движения
4.2.2. Первые интегралы и стационарные движения
4.2.3. Перманентное вращение
Заключение
Литература

Задача о движении тела с вязким жидким наполнением — одна из классических задач механики. Ее исследование идет как экспериментальным путем, так и построением все более сложных теорией. Одним из действенных методов решения задачи является построение эмпирических моделей, позволяющих описать «качественно» движение системы.
Подобная феноменологическая модель была построена в работах [51, 56, 57], и развита в работах [54, 55]. В этой модели взаимодействие жидкости в полости и тела предлагалось разделить на нормальное давление и «линейное» внутреннее трение вязкого наполнителя о стенки оболочки.
В работе [25] при помощи этой модели была исследована устойчивость всех стационарных движений в задаче о движении вокруг неподвижной точки твердого тела с полостью, заполненной вязкой жидкостью.
В данной работе эта феноменологическая модель применена к решению задачи об устойчивости перманентных вращений вокруг вертикали твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость с вязким наполнителем и подвешенного к неподвижной точке с помощью жесткого нерастяжимого стержня.
ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.
Исследование динамики тел с полостями, содержащими жидкость, началось еще в середине XIX века. Первым, по-видимому, на эту проблему механики обратил внимание Стокс (1842-1847 гг., [79]). Затем ею занимались Гельмгольц (1860 г.), Любек (1873 г.) и Ламб (1873 г., [29]), рассмотревшие ряд частных случаев.
Первое обстоятельное изучение динамики твердого тела, имеющего полости, полностью заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, в общей постановке было проведено Н. Е. Жуковским (1885 г., [7]). Н. Е. Жуковский показал, что потенциальное движение жидкости в полости определяется двиных движений, задать семейство «косых» перманентных вращений можно с помощью переменных еУз и гзз (при этом гзз выражается через еУз и rf по формуле (3.1)). Они имеют наглядную геометрическую интерпретацию: если а — угол между векторами е и 7, а д — угол между векторами із и 7, то еуз = ~ cos а- *33 = cos г) (см. также рис. (3.1)). Таким образом, все соотношения, выполняющиеся на нетривиальных стационарных движениях, будем выражать через переменные еУз, гзз и частоту 77.
После несложных выкладок, получим, что для «косого» перманентного вращения должно быть выполнено:
ill = 1> *12 — *13 = *21 = *31 = еУ1 = 0, *23 = *32» *22 = *33»
,• ffg 1 + еуз rfl/g ey3ifl/g
33 lij2 р( 1 + еУзг}Ч/д) + Ґ Vl q{ 1 + еУзГ}Ч/g) 32’
*32 + 4 = 1, 4 + 4 = 1>
Выразим соотношения (3.4) через переменные еУз, г'33, а также через безразмерный параметр w = rfl/g, введенный в разделе 2.6. Получим:
ф(еи, «зз, »)=:»--• ТТТ^ТГТ = <3'6>
w р( 1 -(- еиш) +
Ф(еУз, *зз,*н) = -1 + ву3 + —^ П - ^3) = °> (3-6)
k2(ey3,i33,w) = < C + ma2
P +
(1 — *33 ) f (3-^)
(1 + ЄузШ)2
Попытаемся из соотношения (3.6) выразить w через еУз и г‘33
5(1 - е^ги)
Выражение с(еУз, г’33) = (1 - е2з)/(1 - г23) всегда положительно в силу ограничений на еУз и гзз. Поэтому извлечение корня — корректная операция. Рассмотрим уравнение со знаком «+». Обозначим значение параметра из,