Исследование орбитальной устойчиовсти периодических движений в задачах классической механики и динамики космических аппаратов

• Автор: Савин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Постановка задачи и метод исследования орбитальной устойчивости маятниковых колебаний твердого тела
1.1. Общая постановка задачи об орбитальной устойчивости маятни-
ковых периодических движений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой
1.2. Гамильтониан возмущенного движения
1.3. Изоэнергетическая редукция
1.4. Анализ устойчивости в линейном приближении
1.5. Методика нелинейного анализа устойчивости
Глава 2. Орбитальная устойчивость маятниковых периодических движений симметричного твердого тела
2.1. Постановка задачи. Уравнения возмущенного движения
2.2. Исследование устойчивости в линейном приближении
2.3. Исследование устойчивости в предельных случаях
2.4. Нелинейный анализ устойчивости
Глава 3. Орбитальная устойчивость маятниковых периодических движений твердого тела в случае А = С = 2 В
3.1. Постановка задачи. Уравнения возмущенного движения
3.2. Исследование устойчивости в предельных случаях
3.3. Анализ орбитальной устойчивости при произвольных значениях
параметров
3.4. Исследование устойчивости в случае Лагранжа

Глава 4. Исследование орбитальной устойчивости в случае Бо-былева-Стеклова
4.1. Постановка задачи
4.2. Строгий анализ орбитальной устойчивости для произвольных
значений параметров
4.3. Исследование устойчивости в предельных случаях
Глава 5. Исследование орбитальной устойчивости плоских колебаний симметричного намагниченного спутника относительно центра масс на круговой орбите
5.1. Постановка задачи. Гамильтониан задачи
5.2. Гамильтониан возмущенного движения. Изоэнергетическая редукция
5.3. Анализ устойчивости в линейном приближении
Заключение
Литература
Введение
Задача об устойчивости движения является актуальной задачей теоретической механики. Ее строгое (в смысле Ляпунова) решение позволяет получать важные выводы о качественном поведении механической системы вблизи известной (невозмущенной) траектории. С прикладной точки зрения, для задач проектирования и конструирования технических систем представляет немалый интерес изучение устойчивости периодических движений. В частности, вопросы об устойчивости периодических движений нередко возникают при анализе динамики летательных и космических аппаратов на этапе их создания [62].
В классической и небесной механике исследование устойчивости периодических движений часто сводится к анализу устойчивости положения равновесия периодической по времени гамильтоновой системы. В задаче об устойчивости гамильтоновой системы [46, 50, 56], как правило, приходится иметь дело с, так называемыми, критическими случаями [31, 43, 44], когда для решения вопроса об устойчивости не достаточно исследования линейной системы. Нелинейный анализ является особенно трудным и необходимым при наличии в системе резонансов [39, 40, 46]. По этой причине для решения новых задач об устойчивости движения в классической и небесной механике нередко требуется применение нестандартных идей, учитывающих конкретную специфику задачи, зависимость ее от параметров и возможные особенности уравнений возмущенного движения.
Для строгого решения задачи об устойчивости гамильтоновой системы приходится привлекать целый арсенал методов локального анализа [26, 29, 30], KAM теории [3-7, 37, 60, 77] и общей теории устойчивости. Весьма эффективным, универсальным и хорошо зарекомендовавшим себя при решении конкретных задач устойчивости движения в классической и небесной механике является подход, разработанный в работах [53-55]. Его основная идея состоит в

2.2. Исследование устойчивости в линейном приближении
Рассмотрим линеаризованную в окрестности положения равновесия систему (2.4)
-7-^ = — (/п92 + 2/02Р2), — —(2/2092 +/иРг)- (2-5)
аги и аъи и
Как было отмечено в главе 1, исследование устойчивости в линейном приближении сводится к анализу корней характеристического уравнения системы (2.5)
р2 - 2хр + 1 = 0, (2.6)
Напомним, что 2х = [хц(Т) + Х22{Т)}, а функции жц(го), Х2г(га) - элементы матрицанта линейной системы (2.5).
В общем случае коэффициент ус может быть определен только численно. В настоящей работе расчет коэффициента к проводился в диапазоне параметров и 6 [1//2;6], к 6 [—1; 1) и (1;3]. При этом использовалась методика параграфа 1.4, т.е для значений параметров из указанного диапазона выполнялось численное интегрирование системы (1.36) на интервале [0;Т] с начальными условиями (1.37). На основании проведенных расчетов была построена диаграмма устойчивости, изображенная на рис. 2 .
Плоскость параметров задачи разделяется прямой И — 1 на две зоны: зону колебаний (|Л.|< 1) и зону вращений (И > 1). Штриховкой показаны области, где х > 1 и имеет место неустойчивость как в линейной системе (2.5) так и в нелинейной системе (2.4). Таким образом, в заштрихованных областях маятниковые периодические движения тела орбитально неустойчивы. В незаштрихованных имеет место устойчивость линейной системы (2.5). Здесь для получения строгих выводов об устойчивости необходим дополнительный нелинейный анализ, который будет выполнен ниже.
Дадим еще некоторые комментарии к рис. 2. В случае колебаний области орбитальной неустойчивости исходят из точек прямой к = — 1 с целочисленны-