Экспоненциально малые эффекты в гамильтоновых системах, близких к интегрируемым

• Автор: Зубелевич, Олег Эдуардович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 55 с.

Оглавление
1 Введение
1 Инвариантные торы гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в окрестности резонанса
1 Основные теоремы
1.1 Случай двух степеней свободы
1.2 Случай полутора степеней свободы
1.3 О зависимости разности частот от резонанса
1.4 Дискретный случай
2 Доказательство основной теоремы
2.1 Частоты на инвариантных кривых, близких к сепаратрисам
3 Доказательство теоремы о зависимости разности частот
от резонанса
3.1 Доказательство леммы
2 О мажорантном методе в задаче Коши-Ковалевской
1 Определения
2 Основные результаты
3 Доказательство теорем
4 Несколько фактов из функционального анализа
5 Приложения
5.1 Метод непрерывного усреднения
5.2 Задача о вложении диффеоморфизма в поток
5.3 Усреднение быстрой фазы
5.4 Доказательство леммы
6 Мажорантный метод и решение уравнений
Литература

1 Введение
Один из популярных объектов регулярной теории возмущений динамических систем - дифференциальное уравнение вида
г — £у(г,е), г 6 М, (1.1)
где М - гладкое тп-мерное многообразие, е - малый параметр. Векторное поле V предполагается С°°-гладким и 27г-периодичным по 1.
Хорошо известно, что путем замены переменных можно существенно ослабить зависимость правой части системы (1.1) от времени. В частности, используя стандартный метод усреднения (см., например [3]), легко построить 27г-периодическую по I замену переменных
г И 2, = г + £д(г,<,£) (1.2)
такую, что уравнение (1.1) примет вид:
г, = ед°(г*) + с2п,(г,,е) + еь{гт, t,e), (1.3)
где явная зависимость правой части системы от времени сосредоточена в слагаемом ей = 0(ек). Натуральное К произвольное, а

п°(г) = / «(г, В О)<И

- среднее от г>(г,1,0) по времени.
Предположим теперь, что зависимость функций V от фазовых переменных аналитическая. Как заметил Пуанкаре, в этом случае степенные ряды по малому параметру, задающие замену переменных, исключающую время из уравнений, существуют, но расходятся, причем множители при ек в этих рядах имеют порядок к. В общей ситуации это утверждение доказано в работе [27].
Нейштадт [9, 2] заметил, что в случае аналитической зависимости функции V от фазовых переменных с помощью замены вида (1.2) в уравнениях (1.3) можно получить
Ъ = 0(е~а/е), (1.4)

где а > 0 - некоторая постоянная, а параметр е предполагается неотрицательным. Таким образом, явную зависимость правой части уравнений движения от времени можно сделать экспоненциально малой.
Метод, использованный Нейштадтом при доказательстве этого утверждения, основан на проведении большого (порядка 1/е) количества последовательных замен переменных, постепенно ослабляющих явную зависимость уравнений от времени.
Аналогичные результаты получили Рамис и Шафке [25], анализируя расходящуюся последовательность замен обычного метода усреднения.
В работе [16] Трещев предложил метод, позволяющий вычислять максимальную величину а, для которой возможна оценка (1.4). Этот метод называется методом непрерывного усреднения и состоит в построении континуальной серии замен переменных, ослабляющих неавтономное возмущение в системе (1.1).
Динамические эффекты, связанные с оценками (1.4), называются экспоненциально малыми эффектами.
Задача, решенная в главе 1 диссертационной работы, является одним из примеров такого эффекта. В ее основе лежит следующий вопрос, сформулированный Арнольдом. Рассмотрим непрерывное семейство инвариантных кривых интегрируемого двумерного симплектического отображения и резонансную инвариантную кривую из этого семейства. Возмутим отображение, сохранив свойство симплектичности. В типичной ситуации резонансная кривая разрушается, а в ее окрестности возникает область хаотических движений - так называемый стохастический слой. Границе стохастического слоя принадлежит пара нерезонансных кривых, возникших в результате деформации кривых из исходного семейства. Насколько отличаются частоты на этих граничных кривых, если возмущение имеет порядок 0 < £< 1 ?
Отметим, что данное симплектическое отображение может трактоваться как отображение Пуанкаре в гамильтоновой системе с полутора степенями свободы.
Если рассматриваемая динамическая система аналитична, то разность частот имеет порядок £. Этот результат не является очевидным и, во всяком случае, не может быть получен путем анализа разложения Тейлора рассматриваемого отображения по параметру возмущения.
Хорошо известно, что рассматриваемые граничные инвариантные кривые в основном идут на расстоянии порядка у'Г друг от друга, но в

Правая часть в последней формуле стремится к нулю при п -¥ оо, как ’’хвост” сходящегося ряда.
Заметим, что из компактности какого-либо множества, в Сп вытекает его компактность в Сг2, поэтому множество 1Мп компактно в Сг. Таким образом, множество ИЛ является компактной е-сетью в И7 в смысле пространства Сг, поэтому, и ввиду леммы 2.4, множество IV компактно в Сг [13].
Лемма доказана.
Докажем теорему 2.1. Проверим, что Р(¥) С V/ (см. (2.4))3. Действительно, пусть го £ И7, тогда из определения мажорантной функции имеем:
Р{ю) = и0(г) + /(ги)(1з < 1/(0,г) + J Р(11)<1з < и(Ь,г).

Обозначим 6(1, г) = Р(и>) и выполним оценку:

\Ь(*,2)-Ъ(?',г)г = II //N*1“ < ПЯДЩ Р-П

Отображение Р непрерывно на И7' в смысле пространства Сг по лемме
2.6. По теореме Шаудера. (см. раздел 2.4) и лемме 2.7 отображение Р имеет неподвижную точку в ИЛ Эта неподвижная точка является искомым решением задачи (2.1).
Теорема 2.1 доказана.
Докажем теорему 2.2. Проверим, что множество В замкнуто в Сг. Действительно, пусть последовательность {и*} С Д сходится в СГ при к —> оо, значит по лемме 2.3 она сходится и в С°°. Так как В замкнуто в С°°, то предел этой последовательности лежит в В.
Множество В компактно в Сг как замкнутое подмножество компакта ИЛ Доказательство завершается применением теоремы Шаудера к отображению Р и множеству В.
Теорема 2.2 доказана.
2Действительно, пусть множество К компактно в Сп. Значит, из любой его последовательности можно извлечь сходящуюся по любой норме || II™, р < К подпоследовательность. В частности, эта подпоследовательность сходится по норме || ||?.
3На самом деле мы доказываем, что Р{Т) С №