Экспоненциально малые эффекты в некоторых гамильтоновых системах с двумя степенями свободы

• Автор: Новик, Александр Олегович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с.

1 Введение.
При описании физических процессов часто встречаются системы, отличающиеся от интегрируемых малыми возмущениями. Для их изучения развит ряд методов, которые объединены под общим названием "теория возмущений". В некоторых ситуациях эти методы позволяют достаточно точно описать движение в возмущенной системе. Первое применение этих методов восходит к Лапласу и Лагранжу. Тем не менее, в ряде аспектов поведение возмущенной системы может существенно отличаться от поведения невозмущенной. Прежде всего это проявляется в том, что в возмущенной системе могут иметь место хаотические явления. Появляются траектории устроенные настолько сложно, что их поведение практически перестает быть предсказуемым. Первые шаги в построении современной теории хаоса в детер-менированных системах сделал Пуанкаре открыв явление расщепления сепаратрис в гамильтоновых системах. История этого открытия довольно любопытна.
На конкурс посвященный 60-летию короля Швеции Оскара Пуанкаре представил свой труд, посвященный задаче трех тел. Работа выиграла конкурс и была представлена к публикации в журнале "Acta Mathematica". В этой работе сепаратрисы предполагались сдвоенными. Ошибка была замечена Миттаг-Лефлером. (Существование асимптотических поверхностей у гиперболической неподвижной точки также было установлено Пуанкаре.) Ее исправление и привело Пуанкаре к важному открытию. Это явление получило название расщепление сепаратрис. Как выяснилось, оно лежит в основе современной концепции хаоса в детерменированных системах. Сам Пуанкаре так описывал пересекающиеся сепаратрисы возмущенной системы. "Поражаешься сложности этой фигуры, которую я даже не решаюсь

изобразить. Ничто не является более подходящим, чтобы дать нам представление о сложности задачи трех тел и, вообще, всех задач динамики в которых нет однозначного интеграла." Рассмотрим систему с гамильтонианом
Здесь жей”, у 6 К”. Переменные (х, у) являются переменными "действие-угол" в невозмущенной системе (е = 0). Фазовое пространство невозмущенной системы расслоено на инвариант-
рить что частоты на торе {у = у0} рационально несоизмеримы, если (и, к) ф 0 для любого целочисленного вектора к ^ 0. Если частоты на торе рационально несоизмеримы, он называется нерезонансным. Траектория обматывает такой тор всюду плотно. Если частоты соизмеримы, то инвариантный тор называется резонансным и в свою очередь расслоен на торы меньшей размерности. Невозмущенная система называется невырожденной,
Если невозмущенная система невырождена в некоторой области О, то те значения у, которые соответствуют нерезонансным торам, всюду плотны в И.
ные числа с и 7, такие что для всех к Є Ъп, к ^ 0:
то вектор частот называется диофантовым. Здесь 11 • 11 - некоторая норма в Кп. (Напомним, что все нормы эквивалентны в В/1, поэтому ее выбор большого значения не имеет).
Знаменитая теорема Колмогорова описывает судьбу условнопериодических движений при наложении возмущения.
Н = Щ{у) + єН1{х,у,є).
ные торы у = const. Пусть v — - вектор частот. Будем гово-

Пусть V = - вектор частот. Если существуют положитель-

Теорема 1 Если невозмущенная система невырождена в точке у = уо и вектор частот V соответствующий этому значению у, диофантов, то невозмущенный тор {у = уо} не разрушится при малых є ф 0, а лишь слегка деформируется и по-прежнему будет нести условно-периодические движения с теми же частотами и.
Существует также "изоэнергетический вариант" этой теоремы. Невозмущенная система называется изоэнергетически невырожденной, если
где Т обозначает операцию транспонирования.
Теорема 2 Предположим что инвариантный тор у = у0 невозмущенной системы лежит на уровне энергии Н0 — к, невозмущенная система изоэнергетически невырождена на этом торе и частоты н(у°) диофантовы. Тогда на уровне энергии Н — Ъ, лежит инвариантный тор, близкий к исходному, частоты на котором Лг/(г/°) пропорциональны исходным «А = 1 + 0{е).
Впервые полное доказательство теоремы Колмогорова было дано В .И. Арнольдом [18] (см. также [19]). А. И.Нейштадт доказал следующую теорему [16].
Пусть невозмущенная система невырождена в компактной области Л С Ну. Тогда мера тех у € Б, которые соответствуют разрушившимся торам, имеет порядок П |е|.
В случае двух степеней свободы при разрушении резонансного тора, в общей ситуации, рождается четное число периодических решений, половина из которых эллиптические, половина гиперболические [20] (см. также [17]). Гиперболические решения

Используя следствие 7.1 из утверждения 7.1, получим выражение для функций Нп и 'Нп

. 14.
/ г: йо

(8.5)
{йа2Т[к[2^ у %п = Цг, + 0(е-<1п/Лс+1/Ъу
Система (8.2) рассматривается с начальными условиями:
Я°| = 0, (8.7)
1<5=0 ’ 4 ’
Нп = Пп, пф 0. (8.8)
и=о ' 4 '
Доказательство соотношения (8.6) содержится в утверждении
10.1. Пусть, как уже говорилось, а? = тах„у0 с/"-. Можно утвер-ждать, что выражение с/'1 (Я) в правой части уравнений (8.2) имеет порядок е2(1-). Этой суммой можно пренебречь уравнениях (8.2), при условии, что Я1 имеет более низкий порядок малости по е. Это будет выполнено, если
( / { _ (I1 -Ь Ф) , , ,
1 —— < 2 — 2— или —-— > ё . (8.9)
4> ф, 2 ’
Что заведомо верно при:
Ф < с1 < ф>. (8.10)
Неравенство (8.9) заменено на (8.10) из технических соображений, которые будут понятны при доказательстве леммы 3.
После процедуры отбрасывания малых членов уравнение для функции Я0 примет вид:
Я° = 0. (8.11)
Так как из первого уравнения следует, что Я°(г, Ь, <5) = 0, для функций Нп{г,}ь,уу, 5) имеем следующее уравнение:
Щ=1апЩ. (8.12)