О механических системах с односторонними неголономными связями

• Автор: Березинская, Светлана Николаевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

1 Уравнения с мерами для систем с односторонними связями
1.1 Типы связей
1.2 Пространство траекторий
1.3 Принцип Даламбера-Лагранжа в интегральной форме
для систем с двухсторонними связями
1.4 Принцип Даламбера-Лагранжа и уравнения Лагранжа первого рода для систем с односторонними связями
1.5 Условия на скачке
1.6 Основные законы динамики
1.7 Уравнения Лагранжа 2-го рода
1.8 Теорема Аппеля
1.9 Циклические интегралы и теорема Рауса
2 Лагранжева теория удара для систем с односторонними связями
2.1 Возможные перемещения
2.2 Основные положения теории удара
2.3 Основное уравнение идеального удара в лагранжевых
координатах

2.4 Основные законы динамики удара
2.5 Теорема Аппеля
2.6 Циклические интегралы и метод Рауса в теории удара
2.7 Безударность неголономных односторонних связей.общего вида
3 Примеры механических систем с неголономными односторонними связями
3.1 Плоское тело с каналом
3.2 Шероховатый диск
3.3 Двусторонний конек Чаплыгина
3.4 Односторонний конек Чаплыгина
Заключение
Литература
1. Предметная область. Диссертация посвящена исследованию механических систем с односторонними связями. Исследование таких систем имеет большую историю.
Можно выделить два подхода к рассмотрению таких систем
— классический (дискретный), в котором считается, что движение внутри области, допустимой односторонними связями прерывается ударами о связь (т.е. мгновенными выходами на границу области и сходами с нее) и отрезками движения по границе области. Все эти перерывы образуют во времени дискретную последовательность, чаще всего конечную. Движение описывается обычными уравнениями, например, уравнениями Лагранжа, а в моменты удара, выхода на связь и схода с нее решается задача определения того, как меняется скорость движения.
— непрерывный (уравнения с мерами), в котором моменты движения внутри области допустимой односторонними связями и движения по се границе не разделяются. Движение описывается аппаратом специальных функций (функций ограниченного изменения). Уравнения движения при этом представляют собой уравнения связывающие между собой некоторые функции ограниченного изменения (меры Лебега-Стилтьсса).
Каждый из них имеет свои преимущества и недостатки.
В системах с гладкими идеальными удерживающими связями траектории движения — это гладкие кривые по крайней мере второго порядка гладкости. Уравнения движения — это обыкновенные дифференциальные уравнения. У систем с односторонними связями помимо гладких движений мы можем наблюдать ещё движения по

Доказательство: Обозначим а* — строки матрицы А, і — 1,2 к. Пусть Ьо = {щ, аг,аД — линейное пространство, натянутое на вектора аг- Є К12. Обозначим Ь± — ортогональное дополнение к Ь0. Условие УЫ = 0 эквивалентно тому, что іу Е Ь±. Представим Ь в виде Ь = Ъо + Ь±, где Ьо Е А),Ь± Е Ь±. Тогда АЬ± = 0. Следовательно, если взять и — Ь±, то по условию леммы 0 = (Ьх, Ь) = (Ь±Ао) + (Ь]_, ЬД. Значит А. = 0, т.е. Ь Е А)- Значит найдутся такие числа (Ль Аг,Л&) = Л, что Ь — Хн=і аі — -4^. Что и требовалось доказать.
Применяя лемму об аннуляторе к основному соотношению теории удара (2.2.3) для значений и — 5х и Ь = А/Аг;, получаем
Уравнение Лагранжа первого рода для удара (или Уравнения Лагранжа со множителями): Если кривая х(і), удовлетворяющая идеальным связям (2.1.1), является траекторией движения, то в момент удара о границу связей найдутся такие вектора Л Є Кк,р Є
Лемма о знаке коэффициентов: Векторы д и ц покоординатно неположительны: д < 0 и г] < 0, т.е. д,- < 0, г = 1,2 т, и щ <
Доказательство: Доказательство будем вести для всех множеств возможных перемещений (а не только касательных). Без ограничений общности считаем, что система стеснена только связями А(х, Ь)х + Ь{х) = 0 и д(х, г) < 0 (для связей других типов доказательство аналогичное). Докажем, например, что /д < 0.
ЯтД Є IV, г] Е Я1, что
(2.2.4)
ОД = 1,2, ...Д.