О периодических траекториях динамических систем

• Автор: Поликарпов, Сергей Алексеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 66 с. : ил.

Глава I. Динамические биллиарды
§1. Динамический биллиард, отображение последования
§2. Биллиард в поле тяжести
§3. Круговой биллиард
§4. Биллиард в магнитном поле
§5. Условия устойчивости двузвенных траекторий биллиарда в однородном магнитном поле
Глава II. Неконсервативные динамические системы
§1. Рождение изолированных периодических решений
§2. Устойчивость периодических решений
§3. Расщепление сепаратрис и долгопериодические решения. 51 §4. Математический маятник с трением и периодическим возмущением
§5. Замкнутые траектории биллиарда
с неупругими отражениями
Литература

Динамические системы - обширная область современной математики с сильно развитыми методами исследования и областью приложений. Большое количество работ по качественной теории посвящено обсуждению различных режимов движения, свойственных динамическим системам, и, в частности, их периодическим траекториям - часто встречающимся в задачах видом движения, периодического во времени [3, 24].
Популярной моделью динамической системы, проявляющей свойства, характерные для многих задач, является биллиард - задача о движении материальной точки внутри плоской области с отражением от границы. Впервые она обсуждалась в работах Биркго-фа (см., например, [11]). При этом область движения точки предполагается выпуклой, движение между соударениями с границей происходит по инерции, а отражение точки от кривой считается абсолютно упругим.
Биркгоф сформулировал два основных подхода к задаче о нахождении периодических траекторий биллиарда (см. [11], Гл. 6, §5-9). Вначале существование некоторых траекторий было установлено им при помощи наглядных геометрических рассуждений об экстремальности периметра многоугольников, соответствующих периодическим траекториям, вписанных в граничную кривую биллиарда.
Это - вариационные методы, которые широко применяются для доказательства существования периодических траекторий уравнений динамики. Если речь идет о консервативных системах, то фиксируют значение полной энергии и рассматривают функционал

действие (по Мопертюи-Якоби) на пространстве замкнутых кривых. При определенных условиях точки экстремума этого функционала отвечают периодическим траекториям с заданным выше значением полной энергии. Особенно просто существование таких траекторий доказывается в случае, когда конфигурационное пространство неодносвязно (имеются нестягиваемые в точку замкнутые кривые). Этот случай рассмотрен в классических работах Адамара, Уиттекера и др. авторов (см. [11, 43], а также [3, 14, 17]). В работах В.В. Козлова и С.В. Болотина [6, 8, 18] эти методы распространены на случай, когда область возможности движения имеет непустую границу.
Односвязный случай - более сложный. Впервые он рассматривался Пуанкаре [39] в задаче о наличии замкнутых геодезических на выпуклой поверхности рода нуль.
В случае сильно сплющенной поверхности задача о существовании замкнутых геодезических эквивалентна задаче о существовании периодических траекторий биллиарда с выпуклой границей. Биркгофом [11] было дано строгое доказательство существования бесконечного количества пар периодических траекторий биллиарда. Доказательство было основано на построении отображения в себя двумерной поверхности, соответствующей положению материальной точки на границе биллиарда, и использовании геометрической теоремы Пуанкаре-Биркгофа. Периодическим траекториям биллиарда соответствовали неподвижные точки этого отображения. Эта идея содержится уже в классической работе Пуанкаре [38]. Полное вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании пар периодических траекторий биллиарда дается в

дивергенции правой части уравнений в вариациях, взятый вдоль невозмущенного периодического решения.
Для гамильтоновой системы Д = 0. Это является следствием сохранения в гамильтоновой системе фазового объема, установленного Лиувиллем.
Автор благодарит Д.В. Трещева, высказавшего ряд весьма полезных замечаний, позволивших улучшить содержание данной главы диссертации.