Метод Остроградского и обратные задачи механики

• Автор: Савчин, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 125 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА-ОСТРОГРАДСКОГО.НАХОЖДЕНИЕ ПОЛНОГО ИНТЕГРАЛА УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ОСТРОГРАДС-КОГО
§ I. Основы метода Остроградского
§ 2. Об условиях представимости уравнений движения в
форме Лагранжа-Остроградского
§ 3. Метод вспомогательных переменных
§ 4. О нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона - Остроградского
§ 5. Теорема Лиувилля об интегрируемых системах в механике Остроградского
§ 6. Примеры
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ЗАДАННЫМ
СВОЙСТВАМ ДВИЖЕНИЯ
§ 7. Постановка задачи
§ 8. Построение канонических уравнений ГамильтонаОстроградского по заданным свойствам двилсения... .59 § 9. Построение канонических уравнений Гамильтона по

заданным свойствам движения
§ 10. Частный случай задания свойств движения. . . 67 § II. Примеры
ГЛАВА III. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ В ФОРМЕ ЭйЛЕРА-ОСТРОГРАДСКОРО
§ 12. Об условиях существования функционала,условия стационарности которого совпадают с заданной системой интегро-дифференциальных уравнений с
частными производными
§ 13. Построение плотностей функции Лагранжа для
уравнений типа С.Л. Соболева
§ 14. Метод интегрирующих множителей
§ 15. Метод вспомогательных переменных в случае нормальных систем дифференциальных уравнений в
частных производных
§ 16. Применение аналога теоремы Гамильтона-Якоби-Остроградского для решения задачи о движении мембраны с закрепленным краем в сопротивляющейся среде
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Исследование многочисленных систем различной природы приводит к дифференциальным уравнениям высшего порядка (обыкновенным и с частными производными), интегро-дифференциальным уравнениям с частными производными и другим видам уравнений.Постановки задач для таких систем часто не вписываются в рамки классических задач механики.
С другой стороны, в аналитической механике разработаны эффективные методы решения динамических задач. Распространение этих методов на системы,движения которых описываются указанными выше видами уравнений, является актуальной задачей.
В аналитической механике в основном изучались лишь системы, уравнения движения которых являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка. Если эти уравнения есть уравнения экстремалей некоторого функционала,называемого действием по Гамильтону,то они могут быть представлены в канонической форме.Согласно методу Гамильтона-Якоби задача интегрирования канонических уравнений сводится к задаче нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Однако еще М.В. Остроградский в работе [40 ^ заложил основы механики с высшими производными. В этой работе рассмотрено действие, в котором подынтегральная функция зависит от неза -висимой переменной, произвольного числа неизвестных функций

Используя выражение (б.10),находим
(6.ІІ)
Р*»*- ~ ,
где (^Оу .
(6.12)
Лагранжиану (6.11) соответствует обобщенный гамильтониан
Пример 2. Исследование поперечных колебаний упругого тонкого стержня приводит к определению функции^(*)(сих$6) 9 удовлетворяющей следующему уравнению [57] :
где р и X некоторые постоянные,зависящие от физических свойств стержня.
Для определенности предположим,что в данном случае гра -ничные условия аналогичны условиям (6.3).
Можно проверить,что левая часть уравнения (6.14) удовлет-ряет условиям (6.4) - (6.7).
Формула (2.20) в данном случае запишется так:
(6.13)
(6.14)
(6.15)