Полиморфизмы и задача о разрушении адиабатического инварианта

• Автор: Голубцов, Павел Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 56 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Полиморфизмы
1.1 Общие понятия теории полиморфизмов
1.2 Полиморфизмы, состоящие из гладких отображений
1.3 Полиморфизмы с двумя возрастающими ветвями
2 Пример кусочно-линейного эргодического полиморфизма
2.1 Семейство полиморфизмов Т(а,Ъ, с)
2.2 Доказательство эргодичности Т(а, Ь, с)
3 Полиморфизмы, порождаемые задачей о разрушении адиабатического инварианта
3.1 Задача о разрушении адиабатического инварианта
3.2 Типичные особенности
Добавление. Полиморфизмы и цепи Маркова
Заключение
А Модель задачи о разрушении адиабатического инварианта для среды МАТЬАВ

Введение
Одной из важных проблем теории динамических систем является исследование поведения интегрируемых гамильтоновых систем при малых возмущениях ([19]). Напомним, что система называется интегрируемой, по Лиувиллю в том случае, если она имеет полный набор функционально независимых коммутирующих первых интегралов. Особый интерес представляет ситуация, когда многообразия уровня первых интегралов компактны. Тогда типичные траектории представляют собой квазипериодические обмотки инвариантных торов. Для исследования возмущенных систем, как правило, используют канонические координаты действие-угол ([15, 17]), в которых невозмущенное решение выглядит как равномерное движение фазовой точки вдоль обобщенных координат при постоянных значениях обобщенных импульсов. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (KAM теория) утверждает, что при возмущении интегрируемой гамильтоновой системы большинство инвариантных торов сохраняется ([9, 27]). Часть торов, образующих множество малой меры, тем не менее, разрушается, и на их месте образуются области качественно более сложного поведения, что в случае более чем двух степеней свободы позволяет импульсам существенно удаляться от своих начальных значений.
Данная работа посвящена явлениям, наблюдаемым при медленном периодическом возмущении одномерных гамильтоновых систем в окрестности особых кривых — сепаратрис. Сепаратриса. — траектория асимптотического решения плоской динамической системы, стремящегося при t —+ +00 (устойчивая сепаратриса) или при t —* —оо (неустойчивая сепаратриса) к седловой неподвижной точке. Обычно в невозмущенной системе устойчивая и неустойчивая сепаратрисы совпадают. Возмущенные сепаратрисы, как правило, расщепляются. Тогда в их окрестности рождается стохастический слой, что существенно меняет свойства системы, делая ее неинтсгрируемой ([7. 26, 27]). Нашей задачей является исследование поведения решений возмущенной системы в окрестности сепаратрисы с точки зрения динамики такого параметра

траектории как адиабатический инвариант.
Адиабатическим инвариантом называется величина, асимптотически сохраняющаяся при достаточно медленном изменении параметров гамильтоновой системы. Более строго, рассмотрим систему дифференциальных уравнений Гамильтона х = и(х, А), где А — параметр. Функция I от фазовой точки х и параметра А называется адиабатическим инвариантом, если для любой гладкой функции А(т) медленного времени т = еЬ вдоль решения уравнения х = и(х, А(г1)) изменение величины /(х(£), А(е£)) остается малым на интервале времени 0 < t < 1/е, если е достаточно мало ([9, 10]). Понятие адиабатического инварианта было введено П.Эренфестом. В данном понимании это явление изучалось в работах А.А.Андронова, М.А.Леонтовича. Л.М.Мандельштама. Адиабатические инварианты возникают во многих задачах механики. Например, предположим, что в одномерной гамильтоновой системе при каждом значении параметра фазовые траектории замкнуты и частота движения по ним отлична от нуля. Тогда можно ввести координаты действие-угол. Теорема об усреднении утверждает, что переменная действия данной системы будет являться адиабатическим инвариантом. То же можно сказать о системе с двумя степенями свободы, гамильтониан которой медленно зависит от одной из координат. Например, адиабатический инвариант существует в системе, описывающей движение в потенциальном рве, вытянутом вдоль одной координаты. К таким задачам относятся распространение коротковолнового излучения в волноводе или движение заряженной частицы в плавно изменяющемся поле. Адиабатические инварианты существуют и в системах с ударом, например, при движении упругого шарика между двумя медленно движущимися стенками или при распространении лучей в плоском световоде с зеркальными стенками, ширина и направление стенок которого меняются плавно. В системах со многими степенями свободы с медленно изменяющимися параметрами возникают почти адиабатические инварианты — фазовые функции, для которых мера множества траекторий, отклоняющихся от адиабатического приближения, стремится к нулю вместе с малым параметром. Для одночастотных гамильтоновых систем с плавно изменяющимися параметрами быстрые переменные можно исключать симплектически и за счет этого получить величины, сохраняющиеся с большей точностью. В пределе можно добиться экспоненциально большого времени сохранения адиабатического инварианта. Если адиабатический инвариант имеет предел в прошлом и будущем, то можно показать, что его

Ао убывает. Таким образом, нашим рассмотрением исчерпываются все случаи. Предложение доказано.
Трещевым Д.В. доказано утверждение, показывающее, что рассмотренный нами выше класс полиморфизмов с двумя возрастающими ветвями, естественно возникает при изучении задачи о разрушении адиабатического инварианта.
Пусть Т = ( Ф± = Ч>'±-
Предложение 3.2. Предположим, что но, отрезке [0,1] с К определено, гладкая функция А о, возрастающая, на [0, т] и убывающая на, [г, 1], т 6 (0,1), такая что По(0) = Ло(1) = 0, АДт) = 1. Тогда существуют гладкие функции А±, отвечающие условию А+ + у4_ = Ао, такие что задача о разрушении адиабатического инварианта с площадям,и А± описывается полиморфизмом, Т.
Доказательство. Пусть
Покажем, что соответствующий полиморфизм совпадает с Т. Пусть в момент времени т = 0 адиабатический инвариант равен х Є (0,1). Фазовая точка находится в области Dq. В момент времени т = т(х) точка попадает на сепаратрису, что означает
Вероятность захвата в D+ или в D_ выражается формулой
Фазовая точка, попавшая в область П±, будет выброшена в момент времени т± в область По, т.е.
Определим функции А± следующим образом
А (т) = IР± 0 ПРИ т є f°>
р±о-ф±оА0{т) при т Є [т, 1].
А0(т)-х, т є (0,т).
А±(т±) = А±{т), т± є (f, 1).