Исследование движения систем Гельмгольца с бесконечным числом степеней свободы

• Автор: Будочкина, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Обозначения и терминология Введение
1 О существовании действия по Гамильтону для уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы с производной второго порядка по времени
1.1 Необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме
1.2 Прямой подход к вариационным формулировкам уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы
1.2.1 Критерий существования действия по Гамильтону для заданных уравнений движения
1.2.2 Структура уравнений движения потенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы
1.2.3 Примеры
1.2.4 Комментарии
1.3 Косвенные подходы к вариационным формулировкам уравнений движения непотенциальных систем с бесконечным числом степеней свободы
1.3.1 Зависимость аналога условий потенциальности Гельмгольца от выбора билинейной формы
1.3.2 О существовании вариационного множителя для заданных уравнений движения с производной второго порядка по времени
1.3.3 Примеры
2 Симметрии действия по Гамильтону и первые интегралы

уравнений движения систем с бесконечным числом степеней свободы
2.1 Условие инвариантности действия по Гамильтону и общий вид первого интеграла уравнения движения со второй производной
по времени
2.2 Свойства генераторов симметрий до дивергенции
2.3 Закон сохранения энергии и принцип стационарного действия Якоби
2.4 Вариационные симметрии и симметрии уравнения движения
2.5 Примеры
3 Свойства движений систем с бесконечным числом степеней свободы, описываемых уравнениями с производной первого порядка по времени
3.1 Уравнения движения с производными первого порядка по времени и их уравнения в вариациях
3.2 Метод показателей Ковалевской нахождения частных решений заданных уравнений движения с производной первого порядка
по времени
3.3 Примеры
Заключение
Список литературы

Обозначения и терминология
1. Системой с бесконечным числом степеней свободы называется материальная система, состояние которой не может быть определено конечным числом обобщенных координат.
2. Системами Гельмгольца называются системы, уравнения движения которых непосредственно или с помощью множителей представляются в форме уравнений Эйлера-Лагранжа или Гамильтона.
3. М. — поле действительных чисел.
4. Е"‘ — т-мерное евклидово пространство точек (ж1, ...,а:га).
5. Знак V означает ’’для всякого”, ’’для любого”.
6. Запись і = 1,п означает, что величина і принимает целые значения от 1 до п.
7. и - функция или вектор-функция с составляющими и1 (і = 1, п). Из текста будет ясно, о чем идет речь в том или ином случае.
8. £(АГ) - область определения, Л(ЛГ) - область значений оператора N. Линейность оператора N означает, что
АфАрі1 + А2и2) = \Nii1 + А2АФ2 УАьА2 є Е, Ун1,и2 Є Г>(АГ). 9. £(АГ, В) = {и : и Є Г>(АГ) П £(£)}, Ддг(В) = {Ви : и Є Г>(ДГ, В)}.
10. Аг* - сопряженный относительно заданной билинейной формы оператор, Дг_1 - обратный оператор, I - единичный оператор.
11. М'и ~ производная Гато оператора N в точке и Є -О(Аг).
12. Ри1г - линейный по к оператор, произвольным образом зависящий от и.
Введем классическую билинейную форму

ф(*,д) = £ уЦ)д[г)М.

Отмстим, что в данном случае условия потенциальности (1.14)- (1.19) не выполняются, так как оператор Р не является кососимметрическим на П(Лт'и). Введем билинейную форму со сверткой

і(«.5) = J ь{г)д{Т -і)А.
Условия потенциальности (1.61)- (1.66) выполняются. Построим действие по Гамильтону.
Учитывая (1.70)- (1.72), получаем
К2 = |/, 3^1 = Ъ[и] = ^и(1)Ви(1),
где Ви(Ь) = и(Т — £).
Далее, по формуле (1.73) получаем

Уд.[и] — - У (ай^)й(Т — £) + 6и(£)й(Т — £) + си(Ь)и(Т — £))сЙ + Рдфго]-о
2). Рассмотрим систему с бесконечным числом степеней свободы, движение которой описывается нелинейным уравнением с частными производными вида
■ , • • / 4Т4 4- Т2
Лт(и) = (1 + агВ^)иц + (1 + Р1Е>2^)щ + агих>х> - ^2 + Г - ^ ^ +ТА) Х
хеХр(~|т — + ^,7- 7-4 = 0, (*,«) бдГ = «х (0,Т), (1.86)
где и = и(х, 1) — неизвестная функция; аЬ{,аг,/Зг (г = 1,3) — заданные постоянные; П — ограниченная область в К3 с кусочно гладкой границей Ш.