Бэровские классы показателей Ляпунова механических систем

• Автор: Галиуллин, Ильяс Абдэльхакович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 191 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. Дифференциальные уравнения второго порядка на многообразиях
§1. Показатели Ляпунова систем уравнений
в вариациях для многообразий
§2. Семейства дифференциальных уравнений и
показатели Ляпунова как функции параметра
§3. Векторные поля на касательном пространстве
ГЛАВА II. Голономные механические системы
§1. Геометрические основы реономной динамики
§2. Показатели Ляпунова для механических систем
ГЛАВА III. Правильные системы дифференциальных уравнений
§1. Точки непрерывности показателей Ляпунова
правильных систем
§2. Примеры
ГЛАВА IV. Твердое тело с одной закрепленной точкой §1. Силовые характеристики, вызывающие
регулярную прецессию
§2. Структура потенциала и существование
регулярных прецессий
ГЛАВА V. Уравнения в вариациях для регулярных прецессий
§1. Уравнения первого приближения для
несимметричного твердого тела
§2. Устойчивость симметричного твердого тела
§3. Регулярная прецессия симметричного тела
в ньютоновском центральном поле
§4. Пример разрыва показателей Ляпунова для регулярных прецессий
ГЛАВА VI. Устойчивость прецессионного движения планет
§1. Прецессия планет и ее характеристики
§2. Устойчивость прецессий планет Солнечной системы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Введение
Определенные в 1905г. Р.Бэром [1] классы измеримых функций представляют с одной стороны глубокий математический интерес, так как с их помощью можно фиксировать степень разрывности функции, заданной на метрическом или произвольном топологическом пространстве, а также дать описание множества точек разрыва.
С другой стороны, каждая такая функция, взятая в качестве характеристики некоторого естественно-научного объекта, отражает реакцию этого объекта на изменение его структуры, следовательно, бэровская классификация обладает прикладной значимостью.
Подобными функциями, в частности, являются характеристические показатели систем обыкновенных дифференциальных уравнений, введенные в 1892г. А.М. Ляпуновым [2], или их обобщение, данное в 1980г. В.М.Миллионщиковым [3]: показатели Ляпунова морфизмов в категории векторных расслоений.
Среди материальных объектов, движение которых описывается системами дифференциальных уравнений, выделяются механические системы, как известно [4], конфигурационным пространством у них служит гладкое многообразие. Показатели Ляпунова системы уравнений в вариациях, составленной для соответствующего невозмущенного решения, характеризуют степень устойчивости, а их бэровские классы отражают структурную устойчивость, например, когда система содержит параметры, эти классы являются характеристиками параметрической устойчивости.

и а названы им эволюционными и были применены для получения формул, описывающих лунно-солнечную прецессию Земли.
В диссертации уравнения Белецкого применяются к системе Нептун-Тритон. Прецессия оси планеты здесь рассматривается в том приближении, которое определяет регулярную прецессию Нептуна как симметричного твердого тела, что соответствует решению уравнений в виде совокупности постоянных р = const; о — тт/2.
С использованием последних данных [98] отсюда находится угловая скорость прецесссии и ее период: ~ 50 тыс.лет.
Вопросам устойчивости посвящена вторая часть главы. При этом устойчивость ( по Ляпунову ) регулярных прецессий, которые ”совершают” Венера, Земля, Марс, Юпитер и Уран, рассматривается по отношению к тем же переменным, что и для симметричного тела в гл.У, и с использованием того же метода: движение воспринимается в качестве стационарного и для него устанавливается минимум приведенной потенциальной энергии. В диссертации показано,что прецессионное движение перечисленных планет устойчиво; отсюда следует, в частности, что для объяснения известных отклонения планетных осей от перпендикуляра к плоскости эклиптики требуются более точные модели, нежели та, что принята здесь в качестве предметной.
Иной подход к прецессии Нептуна. Как отмечалось, регулярной прецессии отвечает особая точка системы дифференциальных уравнений в эволюционных переменных. Если в работе [94]
В.В.Белецкий исследовал устойчивость с помощью анализа поведения