Численные методы анализа интегрируемости динамических систем

• Автор: Сальников, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Топологические аспекты интегрируемости
1.1 Геометрические препятствия к интегрируемости
1.2 Метод сечений
1.3 Трёхзвенный маятник (основной пример)
1.3.1 Топологические свойства фазового пространства системы, позволяющие применить метод сечений
1.3.2 Динамика системы, визуализация
1.4 Динамика спутника (пример)
1.5 Особенности применения метода сечений
1.6 Обобщение метода сечений с помощью теории КАМ
1.6.1 Маятнико-подобные системы (пример)
1.6.2 Анализ топологии фазового пространства
1.6.3 Обобщение результата
2 Алгебраические методы анализа интегрируемости
2.1 Полиномиальные интегралы
2.2 Продолжение интегралов в комплексную область
2.2.1 О методе Пуанкаре
2.2.2 Группа монодромии и ее инварианты
2.2.3 Результаты С.Л. Зиглина

2.2.4 Дифференциальная теория Галуа
2.2.5 Результаты Моралеса-Рамиса
2.3 Применение к задаче о динамике маятников
2.3.1 Двузвенный маятник
2.3.2 Трехзвенный маятник
2.4 Эффективный алгоритм применения метода Зиглина
2.4.1 Описание алгоритма
2.4.2 Система Хенона-Хейлеса (пример)
2.4.3 Динамика спутника (пример)
2.4.4 Трехзвенный маятник (пример)
3 Заключение
Список литературы
Приложение. Тексты программ

Введение
Вопрос об интегрируемости динамических систем изучался приблизительно с середины XIX века. В то время под интегрируемостью понимали интегрируемость в квадратурах, то есть для системы дифференциальных уравнений

5Г''(х’,)
возможность найти решение х(й) с помощью операций обращения функций и взятия первообразных.
В настоящее время понятие несколько расширилось: рассматривается более сильная характеристика системы, а именно, существование достаточного количества сохраняющихся величин (первых интегралов), обладающих определенными свойствами. Приведем ниже три важных случая, когда из наличия интегралов (или инвариантов) следует интегрируемость в квадратурах.
1. Если система
= у(х), Х,У£Г (1)
имеет (п — 1) независимый первый интеграл 1
2. Снова рассмотрим систему (1). Пусть она имеет (п — 2) независимых первых интеграла н инвариантную меру д(х) (такая мера, что объем произвольной области не меняется при переносе области вдоль траекторий системы; эту меру называют множителем Якоби). Тогда система (1) интегрируема в квадратурах.
3. Рассмотрим теперь гамильтонову систему с гамильтонианом Н, имеющую п сте-

система (15) инвариантна относительно преобразования
t —1 a 1t, Хі —> Qs,a:i, г = 1
для постоянной а. Это условие эквивалентно выполнению равенств
Fi(a9ixi
(16)
для произвольных х и а. Значения можно вычислить из линейной системы, полученной из (16) дифференцированием по параметру а при а = 1. Заметим, что данным свойством могут обладать только нелинейные системы.
Если система обладает однородностью в указанном смысле, то у нее всегда есть особое решение (straight-line solution) вида
Постоянные С{ можно определить из системы алгебраических уравнений (16), положив
Так как данная система, вообще говоря, имеет комплексные решения (будем считать, что решение существует), то особое решение исходной системы нужно рассматривать как комплексно-аналитическую функцию, определенную на плоскости комплексного времени I. Зафиксируем это особое решение.
Расмотрим теперь уравнения в вариациях вдоль особого решения (17) (мы обсудим происхождение этих уравнений подробнее ниже - в разделе о ветвлении комплексных
Хі = Cit 9i, і = 1
(17)
Хі — Сі, а = t *, то єсть
і(сі СГІ) дгСі, І — 1, . , 71.