Особенности уравнений динамики некоторых неголономных систем и неявные дифференциальные уравнения

• Автор: Закалюкин, Иван Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Примеры вырождения неголономных связей и уравнения Лагранжа с неопределенными множителями
1.1. Вырождение минимальной коразмерности
1.2. Управляемость в кинематической системе
1.3. Исключение множителей
1.4. Движение вблизи множества вырождения
1.5. Об управляемости в динамической системе
1.6. Пример
1.7. Качественное исследование движения балки с коньками с помощью интеграла энергии
Глава 2. Особенности общего положения первых интегралов систем с вырожденными нелинейными связями
2.1. Обзор необходимых результатов из теории неявных систем дифференциальных уравнений
2.2. Классификация локальных особенностей первых интегралов неявных систем двух уравнений
2.3. Реализация особенностей, невырожденность и общее положение
2.4. Особенности первого интеграла общего положения вырожденной пеголономной системы с двумерным конфигурационным пространством и линейными связями
Заключение
Литература

Введение
Диссертация посвящена изучению динамики пеголопомиых механических систем в окрестности подмножества фазового пространства, где уравнения связей являются вырожденными.
По-существу. это важный частный случай теории вырожденных уравнений динамики или. еще в большей общности, теории неявных систем дифференциальных уравнений.
Эта область находится на стыке теоретической механики, математической теории особенностей, теории дифференциальных уравнений. Она мало изучена, особенно в приложениях.
Актуальность темы исследования
Динамика неголономпых систем представляет собой один из наиболее сложных и красивых разделов механики. В практике в основном применяются линейные по скоростям неголономные связи, моделирующие качение твердых тел. движение тела с острым краем (конька). В последнее время с развитием сложных робототехнических и транспортных систем возрос интерес к исследованию систем с нелинейными связями, например обобщениям классического примера Аппеля, а также с линейными связями более общего вида. Начиная с работ классиков 19 века и отечественных основоположников неголономной механики
С.А.Чаплыгина, П.В.Воронца др. (см. например.[12, 23 25]), всегда предполагалось, что система неголономных связей имеет полный ранг. В этом случае уравнения динамики систем, идеальных по Лагранжу, могут быть записаны в разрешенном относительно старших производных виде. Только отдельные работы в последние десятилетия рассматривали другие случаи, когда уравнения динамики приводили к неявным уравнениям . Среди них хорошо известны только работы Дирака об особых точках уравнений Эйлера-Лагранжа, для которых матрица вторых производных Лагранжиана по обобщенным скоростям

вырождена [57]. Систематического исследования динамики неголономных систем вблизи множества вырождения связей в литературе нет. Отметим только ряд интересных работ посвященным отдельным случаям возникновения неявных уравнений в задачах теоретической механики и близких разделов теории динамических систем [36. 49. 58. 59]. С другой стороны, начатая с работ А. Пуанкаре [60] и развитая в работах В.И.Арнольда [3 9, 11], геометрическая теория неявных дифференциальных уравнений превратилась в развитый аппарат исследования сложных систем. Различным аспектам применения теории особенностей в неявных дифференциальных уравнениях посвящены.в частности, следующие фундаментальные работы [16 18, 51 53, 55, 56, 62]. Настоящая работа посвящена как раз этому недостаточно изученному и интересному разделу механики. Основные методы - это как раз методы геометрической теории неявных дифференциальных уравнений и математической теории особенностей, изложению которых посвящены, в частности, недавние работы известных ученых [37, 38, 40, 41, 43 48, 61, 65, 67 70]. Актуальность темы и результатов, среди которых исследование простого и красивого примера (движения балки с двумя коньками), еще более подчеркивается наличием в современной технике сложных гибридных механических управляемых систем (см., например, работы [26 29]) , в которых реализуются неголономпые связи весьма общего вида. Аналогичные системы уравнений возникают также в различных разделах современной физики (см.щапример, [63]).
Наиболее существенные результаты работы:
1. Доказано, что нормальная форма уравнений Лагранжа с неопределенными множителями в окрестности множества вырождения неголономных линейных связей задает систему с быстрыми и медленными переменными. Сделаны выводы о неуправляемости такой системы.
2. Построен фазовый портрет и исследована структурная устойчивость

H sin2(VFi) [cos2(tp — ujt) + cos2(y? — иt) + s sin2(Wt)] 1 + o(Wt2), получа-

2fE sin2 {Wt.)
(J + 2 ml2) sin2 (ИЛ) + о (ИЛ4)
Отсюда получаем указанные ограничения на р. При t = 0. = | указанные
значения достигаются.
Отбрасывая члены высших порядков, получаем приближенное выражение:
2 W2t
]Г = Н2С- - 2£(ол + u2)t + И + <4 + sW2)t2 ‘ (L23)
Поделив все члены дроби на t2 и обозначив
| = Г, СЩ + U‘2 = 2р., + 3^2 + gjy2 _ п2;
получим:
р2(г2 — 2р,г Ч- р2 + п2) = Е.

р2[р2 + п2] = £?,
при некоторых константах р, п, £ = ЯРИ2 и р = г — р = ■2-^~-гг- — . Послед-
няя формула позволяет легко построить график поверхности S. При каждом фиксированном значении р -- ро имеется не более двух значений
Р± = ± - п2.

На поверхности, заданной уравнением (1.23), лежат точки двух прямых
* 4- Е
Р = Ро, - = ц±— -п2.
* Vр<>
Таким образом,часть оси £ - является линией пересечения двух гладких липе-чайтых поверхностей изоморфных двум пересекающимся плоскостям, однако, углы между прямыми образующими меняются. В точках ртах : р+ = р_ корни