Эволюция движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы

• Автор: Шатина, Альбина Викторовна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 250 с. : ил.

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В МЕХАНИКЕ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ
СВОБОДЫ
§1.1. Постановка задачи. Уравнения движения
§1.2. Канонические переменные Андуайе - Делоне
§1.3. Метод разделения движений в механических системах
с бесконечным числом степеней свободы
§1.4. Применение метода усреднения и других асимптотических методов к исследованию “возмущенной” системы
уравнений
ГЛАВА 2. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В
ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
§2.1. Постановка задачи и уравнения движения
§2.2. Построение приближенных эволюционных уравнений
движения деформируемого шара
§2.3. Исследование эволюционных уравнений
§2.4. Частный случай
ГЛАВА 3. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОУПРУГОГО ШАРА В
ОГРАНИЧЕННОЙ КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ
§3.1. Постановка задачи. Уравнения движения
§3.2. Построение приближенных эволюционных уравнений движения вязкоупругого шара
ГЛАВА 4. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ДВОЙНОЙ ПЛАНЕТЫ
§4.1. Модель системы. Уравнения движения
§4.2. Построение приближенных эволюционных уравнений... 133 §4.3. Исследование эволюционных уравнений

ГЛАВА 5. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА С ГИБКИМИ ВЯЗКОУПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ В
ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ
§5.1. Постановка задачи. Уравнения движения
§5.2. Построение приближенных эволюционных уравнений
§5.3. Стационарные точки и их устойчивость
ГЛАВА 6. ЭВОЛЮЦИЯ ДВИЖЕНИЯ СИММЕТРИЧНОГО СПУТНИКА С ГИБКИМИ ВЯЗКОУПРУГИМИ СТЕРЖНЯМИ НА
КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
§6.1. Постановка задачи. Уравнения движения
§6.2. Построение “возмущенной” системы уравнений.
Быстрая диссипативная эволюция
§6.3. Медленная диссипативная эволюция в случае А>С
§6.4. Медленная диссипативная эволюция в случае А<С
ГЛАВА 7. О ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОУПРУГОЙ ПЛАНЕТЫ В ГРАВИТАЦИОННОМ
ПОЛЕ ПРИТЯГИВАЮЩЕГО ЦЕНТРА И СПУТНИКА
§7.1. Постановка задачи. Уравнения движения
§7.2. Построение возмущенной системы уравнений
§7.3. Деформации вязкоупругой планеты, вызываемые полем
гравитационных сил и сил инерции
§7.4. Стационарные решения и их устойчивость
§7.5. О деформациях планеты, содержащей подвижное
внутреннее ядро
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящена исследованию эволюции поступательновращательного движения механических систем, моделируемых деформируемыми вязкоупругими телами, а также твердыми телами с жестко прикрепленными к ним вязкоупругими элементами.
Вопрос о влиянии внутреннего вязкого трения на поступательновращательное движение деформируемого тела возник много лет назад, прежде всего в связи с изучением приливной эволюции движения планет Солнечной системы. Механизм приливной эволюции можно описать следующим образом. Центральное тело, вокруг которого движется планета, создает горбы в вязкоупругом теле планеты. Эти горбы стремятся расположиться по линии планета - центральное тело. Из-за вращения планеты относительно ее собственного центра масс они перемещаются в теле планеты в направлении, противоположном ее вращению. Кроме того, изменение расстояния до притягивающего центра приводит к изменению величины приливных горбов. В силу наличия внутреннего вязкого трения эти процессы сопровождаются рассеянием энергии, что приводит к эволюции поступательно-вращательного движения планеты.
В небесной механике для описания движений естественных и искусственных тел, как правило, используются простейшие модели классической механики - материальная точка и абсолютно твердое тело, а приливная теория базируется на ряде гипотез относительно величины приливных горбов и их расположения относительно вращающейся планеты.
Первые фундаментальные работы по изучению приливной эволюции в системе “планета-спутник” были выполнены в конце XIX века небесным механиком и космогонистом Джорджем Говардом Дарвиным [57,62,133,134]. В качестве возмущающего потенциала, определяющего приливное трение, Дарвин использовал потенциал, обусловленный статической деформацией однородного упругого шара. Разложив этот потенциал в ряд Фурье, Дарвин получил уравнения, описывающие эволюцию элементов орбиты спутника.
Исследуя эволюцию двойной планеты “Земля-Луна”, Дарвин пришел к следующему заключению. Приливы порождают силы трения, замедляющие вращение Земли. Одновременно с замедлением вращения Земли замедляется орбитальное движение Луны относительно Земли. В дальнейшем будет происходить постепенное увеличение земных суток и

ГЛАВА
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОПЫ В МШШШСИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
в виде
^[l,9,0,0a,//] = ^(l)+/^[l,<|>, а,/л). (1.70)
При е = 0 уравнения движения имеют вид: i = -fN9K,
ф = со(1 ) + /NK, <о(1) = У,ЗД. (1.71)
Заметим, что система уравнений (1.71) является стандартной в смысле применения к ней метода усреднения [6]. Однако следует отметить что при отсутствии диссипации энергии, вызываемой внутренним вязким трением упругой среды, данная система является консервативной. А переменные действие в усредненных уравнениях консервативных систем не эволюционируют [6].
При £ Ф 0 поделим обе части уравнения (1.60) на модуль Юнга Е. В результате получим уравнение, содержащее малый параметр е при старшей производной:
(^-^[/?(r + uW_1[u](pa, -Gj]+£/_1[u](pffl -G„)x/?u +
+ ^(vu^_1[u](P(y -GK),p„ -G„)+ffVun, +£-!Vu£[u + ju]+
+ f’X.j,(5u)q2 + s J*(^2 xп)Лdc — 0 У5ие£в. (1-72)

Последний интеграл в (1.72) следует из формулы Гаусса -Остроградского, записанной в следующей форме:
j*X2 rot диск = j*((5ii х X2)nda.
Q2 д^2
Решение уравнения (1.72) ищется в виде:
u = aij +о[е2). (1-73)
Множители Лагранжа и Х2 также раскладываются по степеням малого параметра £:
X] + £Е[ + о[е^ j, Х>2 = ^20 ^^21 + о{е^). (1.74)
Из (1.71) получим уравнение, которому должна удовлетворять функция ut первого приближения ПО £ :
(£“'vu$bi, +u,]-prX Jp'p^