Метод непрерывного усреднения в задачах динамики

• Автор: Пронин, Андрей Вадимович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Содержание
1 Введение
1.1 Усреднение в системах с быстрыми и медленными переменными
1.2 Вложение отображения в поток
1.3 Задачи, связанные с расщеплением сепаратрис
2 Метод непрерывного усреднения
2.1 Метод непрерывного усреднения в автономном случае
2.2 Метод непрерывного усреднения в неавтономном случае
2.3 Выбор оператора £
3 Мажоранты
4 Задача о вложении отображения в поток
4.1 Постановка задачи и результат
4.2 Формализация задачи
4.3 Обратимый случай
4.4 Применение метода непрерывного усреднения
4.5 Сведение к симплектическому случаю
4.6 Замечание о требовании С2-гладкости векторного поля
4.7 Доказательство основной теоремы в симплектическом случае
5 Быстро-медленные системы
5.1 Происхождение задачи
5.2 Постановка задачи
5.3 Основной результат
5.4 Применение метода непрерывного усреднения
5.5 Доказательство замечания о сохранении симплектической
структуры
5.6 Усредняющие уравнения
5.7 Мажорантный коммутатор
5.8 Основная лемма
5.9 Доказательство основной леммы
5.10 Доказательство теоремы 5.1. Оценка для го
5.11 Доказательство теоремы 5.2. Оценки для

СОДЕРЖАНИЕ
5.12 Свойства функций ф, фг
5.13 Оценки для сумм, возникающих при доказательстве леммы
Список литературы

1 ВВЕДЕНИЕ
1 Введение
Целью данной работы является описание метода, позволяющего получать результаты в ряде задач теории возмущений в рамках классической механики и теории динамических систем. Этот метод, названный методом непрерывного усреднения, является развитием метода усреднения Нейштадта [7], основанного на проведении большого количества последовательных замен переменных, каждая из которых ” улучшает” исходную систему дифференциальных уравнений.
Суть метода состоит в следующем. Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
х = Р(х).
Пусть система преобразуется с помощью следующей замены переменных:
х 1— Х(2, Д),
где Д - некоторый неотрицательный параметр.
Метод непрерывного усреднения предлагает строить эту замену как сдвиг вдоль решений следующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
| = /(Д,<Г), г (г, 0) = х, 0 < <5 < Д.
Отличительной чертой метода является то, что векторное поле / предлагается выбирать как результат действия некоторого линейного оператора на исходное векторное поле Е:

Этим метод отличается, в частности, от метода Ли и его гамильтоновою варианта - метода Депри-Хори, в которых векторное поле / строится в виде ряда по малому параметру, присутствующему в системе.

4 ЗАДАЧА О ВЛОЖЕНИИ ОТОБРАЖЕНИЯ В ПОТОК
Лемма 4.1 Для любых двух векторных полей у £ Я и ю 6 Я выполняются следующие свойства:
3. [г>, го] £ Я
Из этой леммы следует /-обратимость правой части. Действительно:
Докажем лемму 4.1.
□ Заметим, что коэффициенты разложения Фурье /-обратимых и /-симметричных векторных полей обладают следующими свойствами: Пусть у = Епег Уп(г)еш, тогда
1. Если у Е Я, то уп(г) = —61у~п(1г).
2. Если у е 5, то уп(г) = с11 у~п(1г).
Из этого наблюдения очевидно следуют все три свойства:
1. Коэффициенты разложения Фурье для можно записать следующим образом:
1. Іу Є
гип, если п > О,
(£'У)П — ’ ~ІУП, если п < О,
О, если п = 0.