Методы решения задачи гарантирующего оценивания для систем с запаздыванием

• Автор: Ахмедова, Наталья Казанфаровна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с. : ил.

Глава 1. Задача гарантирующего оценивания для динамических
систем с запаздыванием
1.1. Постановка задачи
1.2. Аппроксимирующая задача и ее решение
1.3. Оценка уровня неоптимальности приближенного
алгоритма фильтрации
1.4. Схема вычисления величины Д°
1.5. Простейший пример
1.6. Заключение к главе
Глава 2. Приближенные решения аппроксимирующей задачи и
конструктивные алгоритмы фильтрации
2.1. Исходная система определяющих уравнений
2.2. Решение системы определяющих уравнений при £ Є [0, Ь]
2.3. Метод малого параметра для приближенного решения
системы на отрезке £ Є [Ь,Т]
2.4. Решение уравнений нулевого приближения
2.5. Решение уравнений первого приближения
2.6. Решение уравнений нулевого и первого приближений
в исходных переменных
2.7. Приближенные алгоритмы фильтрации
2.8. Оценка уровня неоптимальности приближенных
конструктивных алгоритмов
2.9. Схема вычисления величины Д°
2.10. Заключение к главе
Глава 3. Колебательная система с одной степенью свободы
3.1. Колебательная система с одной степенью свободы
3.2. Классическая среднеквадратическая задача фильтрации
3.3. Задача фильтрации при неопределенных статистических
характеристиках
3.4. Замечание о неуниверсалыюсти построенных алгоритмов оценивания
3.5. Уровни неоптимальности полученных алгоритмов фильтрации при Р^.т)
3.6. Заключение к главе
Заключение
Приложение 1. Принцип Лагранжа и элементы теории двойственности
Приложение 2. Численные процедуры вычисления уровней неоптимальности приближенных алгоритмов фильтрации
Литература
Во многих динамических процессах будущее состояние процесса зависит не только от текущего состояния, но и от состояния процесса в прошлом. В частности, модель процесса может содержать запаздывание (элемент задержки).
Математическое описание указанных процессов во многих случаях может быть осуществлено при помощи различных типов дифференциальных уравнений с запаздываниями. Такие уравнения также называются уравнениями с последействием или функционально-дифференциальными уравнениями [36, 58, 82, 88, 98, 99].
Дифференциальным уравнением с запаздыванием часто называется уравнение относительно некоторой функции х(г) связывающее скорость ее изменения в данный момент времени t со значениями функции в момент времени < и некоторый предшествующий момент Ь — /г, где Н > 0 - число, называемое запаздыванием. Простейший пример дифференциального уравнения с запаздыванием — скалярное уравнение
х{р) = ах{Ь) + Ьх($ — К).
Отметим, что запаздывание, даже достаточно малое, может существенно влиять на характер решения. Например, приводить к дестабилизации системы, к появлению колебаний, к "слипанию" решений (когда решения с различными начальными условиями после некоторого момента времени совпадают) и т.д.
Приведем несколько примеров физических явлений, для математических моделей которых используются системы с запаздыванием. Системы с запаздыванием появляются в задачах управления механическими объектами, в которых используются регуляторы, зависящие от предшествующей траектории (пропорционально-интегральные и пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы) [4, 20]. Такие типы регуляторов используются в роботах-манипуляторах [80]. Уравнения с запаздыванием используются для описания процессов управления космонавтом космическим кораблем на орбите в состоянии невесомости.

jT w'(t)q(t)w(t) dt + A(a)/ - £ Yt,0)H(t)$(t) dt

dt.
+ £p(a,y{t) -w(t) - C'{t) J^Y'{s,t)H{s)^{s)ds Также, как и в доказательстве теоремы 3, имеет место свойство Г(г/р<а), г/А(а)) = г/2Г(р(“ А(а)), о = 0,1.
Тогда, принимая во внимание это свойство, из определения функции И{р^а А^), имеем
гТ ,
V^a) = sup { v t-ЄП1 I
A(Q)V'(T,0)a + ( p -M2r(p(a), A(a))
. "I
A(a)V'(T,0)a + J p(-a)'{t)C'{t)Y,{T,t)adt [4Г(р(а;і, A(a))]'
= [аЭД]2[г(рМ,А'а))] а = 0,1.
Далее вычислим значение А^). Функция £° может быть представлена
в виде

m гт г гт
+ £ L ^(0Іфі(0І <й + І2І ъШщШ dt
1=1 J0 j=lJ0
-2 ФІРоірМ - 2 £ Фt)Ht)&*Xt) dt - 2 wt)Q{t)w$t) dt +
+ Ф'_еФ_+/ &(t)r(t)§(t)dt + f w'(t)q(t)w(t) dt.
Jo Jo
Функция С0 является выпуклой по (Ф_, Ф, w) на гильбертовом пространстве
Rn х L х L2- Необходимое и достаточное условие минимума этой функции имеет

0Є ДС°(Ф_,Ф,гу;р(а>,А<“>),
где дС° ~ субдифференциал £° по (Ф_,Ф, w) в точке минимума. Это условие можно переписать в виде [95]
0 Є 2cd$-d + 2аsign Ф_гі - 2P0dP^l, d =
0є 2п(і)Фі(і) + 2^7^(^)CsignФ;(^) - 2H'(t)x^at), 1=1, m,