Устойчивость в системах с последействием, описываемых интегродифференциальными уравнениями типа Вольтерра

• Автор: Сергеев, Всеволод Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 252 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
1.1. Построение общего решения в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия
1.2. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях
1.3. Некоторые обобщения
1.4. Примеры исследования устойчивости. Модельная задача о движении жесткого крыла в нестационарном потоке. Межвидовое взаимодействие биологических популяций
ГЛАВА II ОЦЕНКА ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ
2.1. Оценка радиуса сходимости рядов первого метода Ляпунова
2.2. Оценка области притяжения для интегродифференци-ального уравнения типа Вольтерра
2.3. Оценка области притяжения для автономного дифференциального уравнения
ГЛАВА III НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ОДНОГО НУЛЕВОГО ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ
3.1. Неустойчивость в системах с интегральными ядрами
экспоненциально-полиномиального вида
3.2. Неустойчивость в общих системах с разностными убывающими интегральными ядрами
3.3. Неустойчивость, устанавливаемая по квадратичным членам

ГЛАВА IV НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ ДВУХ НУЛЕВЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ (ПАРА ЧИСТО МНИМЫХ КОРНЕЙ)
4.1. Системы с убывающими интегральными ядрами разностного типа
4.2. Устойчивость равновесия твердого тела с вязкоупругими опорами
ГЛАВА V АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В КРИТИЧЕСКИХ СЛУЧАЯХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ЯДРАМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО- ПОЛИНОМИА-
ЛЬНОГО ВИДА
5.1. Один нулевой корень
5.2. Пара чисто мнимых корней
ГЛАВА VI НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
6.1. Движение твердого тела с плоскостью симметрии в воздушном потоке при нестационарном обтекании
6.2. Устойчивость положения равновесия жесткого крыла в нестационарном потоке (критический случай)
6.3. Кручение вязкоупругого стержня
6.4. Кручение крыла
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В классических представлениях о природных процессах, их характеристиках, считается, что состояние процесса в данный момент времени і не зависит от его состояния (от характеристик) в какие-либо другие моменты времени. Если рассматривать математическую модель такого процесса, обозначая через х (і) вектор состояния, описывающий процесс, то приходим к стандартному дифференциальному уравнению
= /0Ф),<), (ол)
в котором f(x{t),t) - функция, обладающая теми или иными свойствами.
Однако в середине 19-го века рядом ученых, среди которых молено выделить Больцмана и Томсона (Кельвина), было установлено, что некоторые процессы, такие, как, например, электромагнитное взаимодействие, деформация твердого тела, не подцаютя описанию в рамках указанного классического подхода, поскольку зависят от предыстории процесса, т.е. от моментов времени г < 1 В этом случае вектор состояния х(і) должен удовлетворять (в современной терминологии) уже функционально-дифференциальному уравнению
— = (Рх)(і), (0.2)
іде (іУс)(і) - оператор, определенный на некотором банаховом пространстве, например, на пространстве непрерывно дифференцируемых функций. Обычно рассматривают уравнения типа (0.2) с Вольтерровым оператором [114]. Пусть функции х(і) определены на отрезке [а, Ь]. Оператор (Еж)(£) называется Вольтерровым, если для любого г Є [а, Ь] и любых х{і),Х2(і) из области его определения таких, что если х{£) = х%(і) на [а, т], то на [а,г] выполняется (іОд)) = (Ехд)). Уравнение (0.2) с Вольтерровым оператором называется уравнением с последействием.

Теорема 1.2.
Пусть для уравнения (3.1) выполняется условие (3.2) и при (t, 7*) G J1 справелливы неравенства
1. ||A:(t, т)|| < С ехр[—(3(t — т)], С, /3 = const > 0 ,
2. ||X(t,r)|| < С ехр[—a(t — т)], а > 0 — const,
и пусть 0 < 7 < min(а, (3,(3') . Тогда
1) найдутся е > 0 (7 — е > 0), 6 > 0, т/ > 0 такие, что общее решение уравнения (3.1) в окрестности точки х = 0 представляется рядом

x(t) = ехр[—(7—e)(t—to)] Е Е "+1)(t)4E-4«t'Wl, (3.3)
т=1 sl(n--l)=m
с непрерывными ограниченными коэффициентами , ко-
торый сходится абсолютно и равномерно при Xq 6 G = {то £
R11 : ||ж0|| < <5}, И < rj]
2) всякое решение с то £ G, |д.| < ц стремится к 0 экспоненциально при t —> +00;
3) нулевое решение невозмущенного уравнения (3.1) устойчиво при постоянно действующих возмущениях, удовлетворяющих условию (3.2).
Доказательство теоремы 1.2 аналогично доказательству теоремы 1.1. Определим последовательно для возрастающих т коэффициенты £п+1)(<) ряда (3.3) и коэффициенты P,((ri+lj(t) ряда

y(t) = ехр[—(7 - £){t - to)] Е Е РтП+1)(1)х01-х0п1п+1-
т— 1 sl(n+l)=m
Для P}in+1)(t) имеем выражение
Pn+1)(t) = ехр[(7—e)(t-10)]Jk(t, T)exp[-(7-£)(r-to)]Q]in+1)(r)(/r,