Метод функционалов Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации движений механических систем

• Автор: Павликов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Набережные Челны
• Количество страниц: 248 с.

Оглавление
0.1. Введение
0.2. Список основных сокращений и обозначений
1. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа с конечным запаздыванием
1.1. Постановка задачи. Предельные уравнения
1.2. Знакопостоянные и немонотонные функционалы Ляпунова в задачах о полной устойчивости
1.3. Устойчивость по части переменных
1.4. Случай автономного, периодического и почти
периодического по времени уравнения
2. Метод функционалов Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений
запаздывающего типа с бесконечным запаздыванием
2.1. Фазовое пространство
2.2. Теоремы существования и единственности. Предельные уравнения
2.3. Знакоопределенные функционалы Ляпунова
2.4. Знакопостоянные функционалы Ляпунова
2.5. Исследование устойчивости по части переменных
2.6. Следствия для периодического уравнения
3. Методы исследования задач о стабилизации движений управляемых механических систем
3.1. Стабилизация движений управляемых механических систем
с обратной связью с запаздыванием
3.2. Оптимальная стабилизация движений
3.3. Стабилизация с гарантированной оценкой качества

4. Некоторые задачи об устойчивости и стабилизации движений механических систем
4.1. Исследование стабилизации положения равновесия
управляемых механических систем. Конечное запаздывание
4.2. Исследование стабилизации положения равновесия
управляемых механических систем. Бесконечное
запаздывание
4.3. Устойчивость движений эредитарных механических систем
4.4. О стабилизации положения относительного равновесия
4.5. О стабилизации программного движения
4.6. Задача о стабилизации маятника в верхнем неустойчивом положении
4.7. Задачи о стабилизации твердого тела
4.8. Стабилизация по части переменных при допущении неограниченности неконтролируемых координат
А. Исследование устойчивости функционально-
дифференциальных уравнений нейтрального типа с конечным запаздыванием
А.1. Основные определения
А.2. Принцип инвариантности для автономных уравнений
А.З. Построение предельных систем
А.4. Локализация положительного предельного множества
А.6. Равномерная асимптотическая устойчивость
А.7. Знакопостоянный по ядру функционал Ляпунова
А.8. Исследование устойчивости НФДУ по части переменных
Литература

0.1. Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Простейшая гипотеза, принимаемая при математическом описании физических явлений предполагает, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Однако в многочисленных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования, экономики, биологии, экологии и т. д., для адекватного описания реальных процессов необходим учет запаздывания, "предыстории" процесса. В этих случаях, в качестве математических моделей, используются функциональнодифференциальные уравнения. Согласно [114], функциональнодифференциальные уравнения — это уравнения относительно неизвестной функции х(£) и ее производных, вычисленных в различные моменты времени £.
Впервые в достаточно общей форме такие уравнения были представлены и исследованы в трудах В. Вольтерра [21].
Одним из важнейших разделов качественной теории функциональнодифференциальных уравнений является теория устойчивости. Метод функционалов Ляпунова, предложенный Н.Н. Красовским [58], является в настоящее время одним из основных в исследовании устойчивости систем с запаздыванием.
Многие ученые внесли существенный вклад в развитие теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Н.Н. Красовским [58] доказаны теоремы об устойчивости и асимптотической устойчивости для уравнения запаздывающего типа. Теорему о неустойчивости получил С.Н. Шиманов [121]. Устойчивость решений уравнения нейтрального типа исследовалась в работах [46, 47, 115, 146]. Частичная устойчивость функционально-дифференциального уравнения исследовалась в работах [24]—[26], [35, 143, 156]. Функциональнодифференциальные уравнения Вольтерра, введенные в [21, 22],
исследовались далее в работах [107, 108, 110, 109]. Другие значительные результаты классического типа при исследовании устойчивости функционально-дифференциальных уравнений вторым методом Ляпунова были получены в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова, Дж. Хейла,

Но тогда по условию 3) теоремы аДО, ip*) 6 {V1 (0, 0)} Г){*(0> ф) ~ 0) для всех t € R. А это совместно с неравенствами (1.2.23) противоречит условию 2) теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема доказана.
Пример 1.2.2.
Рассмотрим систему:
' 2(t+l)x1(t) = -an(t)xi(t) + a12(t)x2{t),
±2(t) = -x2(t)(Jt)xl(t + s)f(t,x1(t + s))ds+ (12 24)
+b{t)) - x2(t - h) - ±ai2(t)xi(t),
. (t) = a31(t)x!(t)x2(t) - a32(t)a%(t),
(0 < r(t) < h — const).
Допустим, что функции ciij(t), b(t) ограничены и равномерно непрерывны при t € R+- Пусть a2{t) > ао = const > 0, a\(t) > 0, b(t) > 1 + Ьо| sin(t) |, 60 = const > 0, t € i?+.
Допустим, что функция f(t, 0, причем f(t, 0, t —» +oo равномерно по у>1 € СНо,Н0 < Я.
Предельная система будет иметь вид:
Xi(i) = 0,
< x2(t) — —b*(t)x2(t) — x2(t — h) — |oi2(t)a;i(t), (1.2.25)
i3(i) = a(t)a:i(t)x2(t)
Положим:

(*.1,2) = (* + l)i(0) + г(0) + У V51(S)C3'S'

Для производной Й(£, 1,932) в силу (1.2.24) находим:
V(t, Множество Ло = 0) = {tpi = 0, tp2 = 0}.
На этом множестве предельная система (1.2.25) принимает вид:
x3(t) = -a52(i)®i(t).
Очевидно, ЧТО решение ДЦ = Х2 — Жз = 0 предельной системы асимптотически устойчиво относительно Ло, и, следовательно, по теореме
1.2.4, решение Х = Х2 — Х2 = 0 исходной системы устойчиво.