Методы построения характеристического уравнения в задаче устойчивости одного класса периодических систем с последействием

• Автор: Тарасян, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 127 с. : ил.

ГЛАВА 1. Характеристические уравнения для операторов монодромии
§1.1. Условия конечномерности оператора монодромии
§1.2. Характеристическое уравнение
§1.3. Реализация краевых условий для вырожденной функции г
§1.4. Характеристические уравнения операторов монодромии,
задаваемых специальными конструкциями функции т]
§1.5. Некоторые классы систем с последействием и
конечномерными операторами монодромии
ГЛАВА 2. Условия конечномерности для операторов монодромии
§2.1. Формулировка основного утверждения
§2.2. Необходимые условия конечномерности
§2.3. Достаточные условия конечномерности
§2.4. Реализация условий конечномерности
§2.5. Примеры периодических систем с последействием
и конечномерными операторами монодромии
ГЛАВА 3. Периодические системы дифференциальных
уравнений с конечномерными вольтерровыми операторами
§3.1. Конечномерные вольтерровые операторы
§3.2. Построение общего решения
§3.3. Оператор монодромии
§3.4. Дискретный случай
§3.5. Обобщение результатов
§3.6.Устойчивость систем с амплитудно-импульсными элементами
§3.7. Исследование динамических процессов
в одной модели фрезерования
Список литературы

Динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями с последействием встречаются в различных областях современной науки и техники: в механике сплошных сред со сложной реологией [2, 15, 43], в биологии и медицине [3, 6, 7, 23, 26, 32, 39, 50], в системах автоматического управления [28, 44], в технологических процессах, связанных с переносом материалов и энергии[10, 33, 58, 64-66].
Наличие последействия в математической модели динамической системы существенно влияет на её качественное поведение [1, 4, 5, 24, 25, 27, 28, 29, 30, 34, 37, 38, 46, 49]. Основы общей теории линейных периодических систем с последействием заложены в работах А.М.Зверкина, А.Стокса, А.Халаная, В.Хана, Дж.Хейла и С.Н.Шиманова [21, 35, 46, 52-54, 56, 63, 68]. Она оказалась эффективной при разработке методов исследования квазигармониче-ских систем [55]. Для существенно нестационарных периодических систем с последействием рассматриваемая нами теория получила развитие только для отдельных классов уравнений [8, 21, 31, 63].
Устойчивость линейных периодических систем с последействием описывается в терминах спектра оператора монодромии, действующего в пространстве непрерывных функций. Он является вполне непрерывным и его спектр состоит из собственных чисел с предельной точкой в нуле. Если оператор допускает непрерывное расширение с пространства непрерывных функций на сепарабельное гильбертово пространство, то построение характеристического уравнения, определяющего собственные числа, связано с его конечноИз вырожденное функции Е следует вырожденное функции
и—г т
Рх (£, /3) = х (Ь, /3) + £ х(Ь,т) J G(т,a)r](a,(3 — a)dadт— о о
и—Г
~ I x(t,т)r](т,|3-т)dт, £ € [и; — г, сн], /3б[-г,0), (2.2.8)

т.к. разность функций Р (£, /3) — Р (7, /3) зависит только от аргумента /3. Используя формулы (2.2.7) и (2.2.8), определяющие функции х и Ех, находим г
■^1 /3) = У ^ т) / (г7/5) ^ £е[-г,0), <б[ш-г,ш], (2.2.9)

и—Г
}{т,Р)=г]{т,Р-т)+ J r)(т,a-т)G1{a,P)da, (2.2.10)

Сп(т,/3) = J G(т,a)т](a,|3-a)da-т^(т,|3-т), (2.2.11)

- г < /5 < 0, ш - г <т <1 <ш.
Из (2.2.9) и дифференцируемости по £ функции У следует дифференцируемость по t функции 7*1. Её производная определяется формулой
ВГ'д1’т =/('.«+ / И, Я ЙТ, (2.2.12)
о;—г
/з е [-г, о), г е [ш - г, ш]
и является вырожденной функцией. При фиксированном значении /3 равенство (2.2.12) является уравнением Вольтерра 2 рода для функции / и его решение определяется формулой
= /Г (2.2.13)
и—г