Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка

• Автор: Захарова, Марина Викторовна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
§1. Вводный
§2. Дифференциальные уравнения второго порядка как математические модели движения экипажа
железнодорожного транспорта
§3. Ограниченность решений обобщенной системы Льенара
§4. Устойчивость решений обобщенной системы Льенара
§5. Ограниченность решений нелинейных уравнений второго
порядка
§6. Устойчивость решений нестационарных линейных
уравнений второго порядка
§7. Об асимптотических свойствах решений дифференциальных
уравнений второго порядка
§8. Качественное исследование интегральных многообразий
уравнения Дуффинга
§9. Об ограниченности решений систем дифференциальных
уравнений второго порядка
§10. О существовании и устойчивости предельного цикла
системы уравнений типа Пуанкаре
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертационная работа посвящена исследованию ограниченности, устойчивости в смысле Ляпунова и других качественных свойств движений механических систем, моделируемых обыкновенными нестационарными дифференциальными уравнениями и системами второго порядка.
Актуальность темы. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы второго порядка используются в качестве математических моделей в разнообразных задачах механики, техники, теории автоматического регулирования и т.д. Этим объясняется постоянный интерес к изучению таких уравнений. По словам известного ученого Р. Беллмана, «с математической точки зрения дифференциальное уравнение второго порядка представляет собой постоянный вызов искусству аналитика».
Актуальными проблемами при исследовании динамических и геометрических свойств дифференциальных уравнений и систем второго порядка являются проблемы устойчивости и ограниченности движений.
Вопросы теории устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (как линейных, так и нелинейных) изучались, начиная с работ А. Пуанкаре,
A. М. Ляпунова, Н. Е. Жуковского и Дж. Биркгофа, в работах отечественных и зарубежных ученых: Е. А. Барбашина, Л. А. Еусарова, Г. Н. Дубошина, И. Г. Малкина, В. В. Румянцева,
B. М. Старжинского, Н. Г. Четаева, В. А. Якубовича, Т. А. Бартона, Р. Беллмана, Дж. Ф. Джианга, Т. Динга, К. Квана, Э. А. Коддингтона,
В. Коппела, Н. Левинсона, С. Лефшеца, Б. Манфреди, 3. Опяля, М. Урабе, Ф. Хартмана, Л. Чезари и других ученых.

Вопросы об ограниченности и асимптотическом поведении решений указанных уравнений рассматривались в работах М. М. Беловой, Л. А. Гусарова, В. В. Романкова, В. М. Старжинского, А. А. Шестакова, Е. В. Щенниковой, Р. Беллмана, Т. Иосидзавы, К. Квана, В. Коппела, Н. Левинсона, Р. Ортега и других ученых.
Одним из основных методов исследования свойств устойчивости и ограниченности решений является метод функций Ляпунова, созданный А. М. Ляпуновым и получивший к настоящему времени значительное развитие. Метод функций Ляпунова является эффективным методом при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости и ограниченности движений как линейных, так и нелинейных механических систем.
В настоящей диссертации уточнены и обобщены известные результаты об устойчивости и ограниченности решений дифференциальных уравнений второго порядка, в частности, уравнения Льенара и уравнения Дуффинга; получены новые достаточные признаки устойчивости и ограниченности движений; проведено качественное исследование и изучено асимптотическое поведение решений для ряда важных классов уравнений второго порядка.
Объект исследования. В работе рассмотрены следующие классы уравнений и систем: обобщенная система Льенара;
нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка общего вида; нелинейное дифференциальное уравнение специального вида; уравнение Дуффинга; система п дифференциальных уравнений второго порядка, разрешенные относительно второй производной (;п > 2); система дифференциальных уравнений первого порядка типа Пуанкаре.

Т}. Функция г2(?): К —> Л+, обладает свойством: имеются две измеримые функции г2,.(?) ■ Я* —> К" (? = 1,2) такие, что функция
г2Х (?) ограничена на /?+, м выполнено условие

]У22 (?) Л < +оо, г, (?) = г2] (?) + г22 (?) У?еЯ+.

7Ьгда состояние равновесия х - у = 0 обобщенной системы Лъенара (4.2) асимптотически устойчиво. Если, кроме того, условия Тз и Т4 справедливы для любой постоянной с5 > 0, и выполнено условие

Ту. функция 0,(х) = ^ц(х)с1х-^ + со ирм |л:| —> +СХЭ, о
то состояние равновесия х = у = 0 системы (4.2) асимптотически устойчиво в целом.
Теорема 4.2. Пусть выполнены условия теоремы 4.1, причем функция ф в условия Т4 слабо интегрально положительна, а условие Тз заменено следующим условием.
Ту. Существует постоянная с6еЯ такая, что г, (?) < с6 V? е К". Тогда состояние равновесия х = у = 0 системы (4.2)
эквиасимптотически устойчиво в целом.
Теорема 4.3. Пусть выполнены условия Ту - 7), Ту и условие Ту. существует постоянная с8 > О такая, что ф(?)>с8 ZteR*, где функция ф(?) определена в условии ТА. Тогда состояние равновесия х = у-0 системы (4.2) равномерно асимптотически устойчиво.
Теорема 4.4. Пусть выполнены условия теоремы 4.3 и условия Тз и Т$ справедливы для любой постоянной су > 0. Пусть выполнено условие Т6. Тогда состояние равновесия х = у = О системы (4.2) равномерно асимптотически устойчиво в целом.