Устойчивость движения и нелинейные колебания в задачах классической и небесной механики

• Автор: Бардин, Борис Сабирович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 380 с. : ил.

Оглавление
Введение
Часть I. СЕМЕЙСТВА ЧАСТНЫХ РЕШЕНИЙ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В РЕЗОНАНСНЫХ СЛУЧАЯХ
Глава 1. Асимптотические решения гамильтоновых систем при резонансах первого и второго порядков
1.1. Теорема Ляпунова об асимптотических решениях систем дифференциальных уравнений
1.2. Асимптотические решения неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы при резонансах первого и второго порядков
1.2.1. Постановка задачи
1.2.2. Асимптотические решения в случае резонанса первого порядка и простых элементарных делителей
1.2.3. Асимптотические решения в случае резонанса первого порядка и непростых элементарных делителей
1.2.4. Асимптотические решения в случае резонанса второго порядка
1.3. Об асимптотических решениях многомерных гамильтоновых систем при резонансах первого и второго порядков
1.3.1. Постановка задачи
1.3.2. Асимптотические решения в случае простых элементарных делителей
1.3.3. Асимптотические решения в случае непростых элементарных делителей

1.3.4. Дополнительное исследование в случае автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы
1.4. О движениях динамически симметричного спутника, асимптотических к его регулярным прецессиям
1.4.1. Постановка задачи
1.4.2. Движения динамически симметричного спутника, асимп-
тотические к его цилиндрической и гиперболоидальной прецессиям, при граничных значениях параметров
1.4.3. Движения динамически симметричного спутника, асимп-
тотические к его конической прецессии, при граничных значениях параметров
Глава 2. Устойчивость и бифуркация периодических решений при наличии резонансов
2.1. Теорема Ляпунова о голоморфном интеграле
2.2. Орбитальная устойчивость периодических решений автономной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе четвертого порядка
2.2.1. Постановка задачи
2.2.2. Устойчивость короткопериодических движений
2.2.3. Исследование устойчивости долгопериодических движений
в линейном приближении
2.2.4. Нелинейный анализ орбитальной устойчивости долгопериодических движений
2.2.5. Об орбитальной устойчивости периодических движений спутника, близких к его цилиндрической прецессии
2.3. Бифуркация периодических решений в системах, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях

2.3.1. Периодические решения систем, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях
2.3.2. Бифуркация периодических решений
2.4. Построение периодических решений в системах, близких к системам Ляпунова, при резонансе в вынужденных колебаниях
2.4.1. Построение периодического решения в случае резонанса
2.4.2. Построение периодических решений на кривой разветвления
2.4.3. О бифуркации периодических движений маятника с вибрирующей по горизонтали точкой подвеса
2.4.4. Бифуркация колебаний спутника в плоскости слабоэллиптической орбиты
Часть II. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Глава 3. Нелинейные колебания неавтономной гамильтоновой си-
стемы с одной степенью свободы при резонансах
3.1. Поведение неавтономной гамильтоновой системы с одной степенью свободы в окрестности положения равновесия при резонансе первого порядка
3.1.1. Постановка задачи
3.1.2. Упрощение гамильтониана
3.1.3. Исследование невозмущенной системы при д = —1
3.1.4. Исследование невозмущенной системы при ц
3.1.5. Исследование возмущенной системы
3.2. Нелинейные колебания гамильтоновой системы с одной степенью свободы в окрестности периодического решения при резонансе в вынужденных колебаниях

Теорема 1.1. Пусть Rexs < 0 (Rex, > 0) при s < к < п, тогда система (1.1) имеет семейство асимптотических при t —> +оо (/; —> —оо) решений, зависящее от произвольных постоянных щ

хг = J2 K[mu-’mkt)c... , (1.3)
тэт iH Ь-тк
сходящихся при |cs| < с (s < к) и t > 0 (t < 0), где с - некоторая положительная постоянная.
Предположим теперь, что система уравнений (1.1) является гамильтоновой. Если соответствующая ей линейная система имеет характеристические показатели с отличными от нуля вещественными частями, то система (1.1) имеет два семейства асимптотических решений вида (1.3). Решения одного из семейств асимптотически приближаются к началу координат при t —* +оо, а решения другого семейства - при t —> —оо. Последнее утверждение сразу следует из теоремы 1.1, если принять во внимание, что у линейной гамильтоновой системы для каждого характеристического показателя щ всегда существует характеристический показатель х,, такой что хг = — Xj.
Теория Ляпунова-Пуанкаре неприменима, в критических случаях когда все характеристические показатели линейной системы (1.2) имеют нулевые вещественные части. Эти случаи, как известно, часто встречаются в задачах классической и небесной механики и по этой причине представляют большой интерес для исследования. Кроме того, анализ асимптотических решений представляет интерес также с точки зрения исследования задачи об устойчивости, поскольку наличие у гамильтоновой системы асимптотических решений позволяет сделать вывод о ее неустойчивости.
По указанным выше причинам задаче о существовании и построении семейств асимптотических решений в критических случаях уделялось большое внимание. Обзор основных результатов, полученных к настоящему времени, был дан во введении к данной диссертационной работе.