Декомпозиция некоторых оптимизационных задач на дискретных финансовых рынках

• Автор: Соловьев, Алексей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Содержание
Введение
Список основных обозначений
Обзор литературы
Глава 1. Хеджирование обязательств европейского типа
1.1. Хеджирование на дискретном рынке
1.1.1. Основные понятия
1.1.2. Метод динамического программирования
1.2. Максимизация доли выполнения обязательства
1.2.1. Метод крайних мартингальных мер
1.2.2. Использование достижимых выплат
1.3. Минимизация функции потерь
1.3.1. Линейная функция потерь
1.3.2. Квадратичная функция потерь
1.4. Примеры
1.5. Модель с дивидендными выплатами
1.6. Условие неразорения в многопериодной задаче Марковица
Глава 2. Хеджирование обязательств американского типа
2.1. Описание модели
2.2. Частичное хеджирование
2.2.1. Задачи на максимин и минимакс
2.2.2. Задачи минимизации начального вложения
2.2.3. Примеры
2.3. Хеджирование с фиксированной вероятностью

Глава 3. Декомпозиция задачи оптимального потребления
3.1. Модель рынка с деревьями сценариев без самопересечений .
3.1.1. Постановка задачи оптимального потребления
3.1.2. Постоянная норма потребления
3.2. Модель рынка с деревьями сценариев с самопересечениями .
3.2.1. Описание модели
3.2.2. Задача потребления с учетом тренда рынка
3.2.3. Постоянная норма потребления
Заключение
Литература

Введение
Диссертация посвящена разработке декомпозиционных подходов к решению оптимизационных задач, возникающих перед инвестором на финансовом рынке. Рассмотрены наиболее распространенные задачи - хеджирование (выполнение) обязательств европейского и американского типов, а также оптимальное потребление при управлении портфелем ценных бумаг.
Актуальность темы. Классические работы Марковица [42], Мертона [44, 46], Блэка и Шоулза [17], А.Н. Ширяева [15] положили начало целому ряду исследований по оценке финансовых активов, снижению риска невыполнения обязательств. При этом в работах полагалось, что торговля активами происходит непрерывно по времени.
Рассмотрение дискретных моделей рынка для решения задач инвестирования позволило применить новые методы, в частности, теорию двойственности и методы математического программирования. В данной работе предполагается, что торги на рынке происходят в известные моменты времени, и число сценариев поведения рынка конечно. Если шаг временного разбиения мал, а число сценариев велико, то мы получаем задачи большой размерности.
Решение указанных задач часто вызывает затруднения по причине неполноты рынков. Рынок называется полным, если любое обязательство может быть реплицировано (воспроизведено). На современных рынках это условие не всегда выполняется. Поэтому в настоящее время исследования неполных рынков являются актуальными. Неполнота рынков порождает большое число ограничений, связанное со сложностью оценки величины обязательства или потребления. В диссертации рассмотрено несколько постановок задач для неполных рынков, демонстрирующих различные подходы к оценке

Чтобы для решения этой задачи применить методы раздела 1.2, приведем ее к эквивалентному виду

№),е)
у + ^2¥^)-в(г-1) + ат)^Р(Т),
(1.29)

О ^ 4п ^ Н, Уп е Л/д.
Действительно, так как рп > 0 для всех п <Е Л/д и У{Т) ^ 0, то для любого оптимального решения (£*(Т), У*(Т), 0*) задачи (1.28) выполнено
С(Т) = (F(T) - У*(Т))+ ^ Д(Т).
С другой стороны, для любого допустимого решения задачи (1.29) условие
неразорения следует из следующих отношений

У(Т) = у + ^ ПО • 0(< -0> ПТ) - йТ) > 0.

Определим ф(Т) = (фп, п е Л/д) по вектору £(Т) :
'Фп =

Используя равенство = (1 — ф(Т))Р(Т), запишем задачу (1.29) как задачу максимизации средней величины частичного обязательства ф(Т)Р(Т).

(Ж, £рЖР-

0 о, УпеЛ/д.
(1.30)