Алгоритмы построения эпсилон-оптимальных стратегий в нелинейных дифференциальных играх на плоскости

• Автор: Двуреченский, Павел Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Алгоритм вычисления значений операторов Минковского

1.1 Определение и свойства операторов Минковского

1.2 Алгоритм вычисления суммы Минковского

1.3 Конволюта многоугольника и многозначного отображения на плоскости

1.4 Вспомогательные оценки

1.5 Доказательство теоремы 1.3.

1.6 Алгоритм вычисления значений операторов Минковского

1.7 Модифицированные операторы Минковского

2 Дифференциальная игра с фиксированным временем окончания

2.1 Постановка задачи
2.2 Стратегии и законы управления
2.3 Алгоритм вычисления стратегий управления
2.4 Доказательство теорем 2.3.1-2.3.
2.5 Применение алгоритмов главы 1 для построения стратегий
3 Дифференциальная игра быстродействия
3.1 Постановка задачи
3.2 Стратегии и законы управления
3.3 Алгоритм вычисления стратегий управления
3.4 Доказательство теорем 3.3.1-3.3.
3.5 Применение алгоритмов главы 1 для построения стратегий
4 Результаты численных расчетов
4.1 Игра для нелинейного маятника с фиксированным временем окончания

4.2 Игра для нелинейного маятника с нефиксированным временем окончания и ее модификация
4.3 Игра «шофер-убийца» и ее модификации
Заключение
Литература
Список иллюстраций

Введение
В современной математике задачи оптимального управления динамическими системами в условиях неопределенности, помех и конфликтов изучаются в рамках теории дифференциальных игр. В данной работе рассматриваются антагонистические дифференциальные игры (игры с нулевой суммой), в которых участвуют два игрока с противоположными интересами. Исследования по теории антагонистических дифференциальных игр насчитывают более чем полувековую историю. Термин «дифференциальная игра» был введен Р. Айзексом. Его первые работы [58], [59], [60], [61] относятся к 50-м годам XX века. В его книге [62] проводится теоретическое рассмотрение различных дифференциальных игр на основе разработанного им метода сингулярных поверхностей.
В 60-ые годы XX века теория дифференциальных игр получила существенное развитие в работах советских математиков. Среди них следует отметить работы Л.С. Понтрягина по линейным дифференциальным играм [25], [26], [27], [28], работы H.H. Красовского [15], [16], Б.Н. Пшеничного [30], [31], [32]. В работе [28] предложен известный метод альтернированного интеграла для решения линейных задач. Этот метод использует в своем построении понятия суммы и разности множеств по Минковскому. В отличие от этого метода, операторные конструкции, предложенные Б.Н. Пшеничным, применимы и для нелинейных дифференциальных игр, но требуют разработки алгоритмов, которые позволили бы приближенно вычислять образы этих операторов. В 70-е годы исследования по дифференциальным играм активно продолжались. В 1974 году была издана классическая книга [17], в которой исследуются дифференциальные игры в довольно общей постановке. В этой книге доказана теорема об альтернативе, введено понятие стабильного моста и предложен метод экстремального прицеливания для построения оптимальных стратегий. Стоит отметить также, что в этой книге особое внимание уделяется переходу от теоретических рассмотрений к конструктивным, позволяющим создавать алгоритмы построения стабильных мостов и оптимальных стратегий.
В работах зарубежных авторов [48], [50], относящихся к этому периоду, развивался

6 < Ьсхо имеем (у, ж(£)) < ус — щ(1 — 2Ьс) < щ(1 — Ьс) — Ф Так как у 6 *Ва(д(0)), то (у,у(0) — у) < д. Используя неравенство (1.4.8) и соотношения (1.4.12), имеем следующую цепочку неравенств:
<У, я(0 + 51 (®(*)) - у) = (У, + 51ОФ)) - 51(0) + д(0) - у + 771(0) - у(0)) <
< хго(1 — Ьс) — 5 + £<з|ж(£)| + <5 — но < 0. (1.4.20)
Так как |ж(£)| > Д и 6 < ЬсА, то — 6 > —Ьс|ж(£)|- Используя неравенство (1.4.9), получаем следующую цепочку неравенств:
(«?, ж(£) + у(ж(£)) - у) - (у, ж(£) + у(ж(£)) - ^(О) + 5(0) -у)>
> |х(^)|соз4Тс — Ьсх{Ь) - 6 > |х(^|(соз4Тс — 2Тс) > 0. (1.4.21)
Из неравенств (1.4.20), (1.4.21) следует, что при любом £ 6 [£ь£2] существует точка г(г) = ж(£) + А(£)у1(ж(£)) + (1 - А(£))у(ж(£)), А(£) € [0,1], такая, что (у, г(Ь) - у) = 0.
Причем
(у,ж(£) + у(ж(£)) - у)
A(t) =
(у,5(ж(£)) -5!(ж(£)))'
Обозначим и — |ж(£2)|. Тогда ж(£2) = uqcosALc + upsmALc, и > А и 5 < O.OlLcA <
0.0lLGn. В силу условия Липшица для функций 5,51 с учетом неравенств (1.4.8) и (1.4.11) и соотношений (1.4.12) имеем (q,g(x(t)) — g(x(t))) > — 2Lcx(t) > лг0(
2Ьс) > 0. Поэтому знаменатель дроби, определяющей А(£), не обращается в ноль и функции А(£), z{t) непрерывны. При £ = £2 получаем следующие неравенства
О < Л((2) < Hc°s4Lc + l onG)
^о(1 - 2Lg)
Используя эти неравенства, неравенства (1.4.11) и (1.4.13), получаем (p,z(£2) - у) =
= (р,®(£г) + (1 - А(£2))(у(ж(£2)) ~ 5(0)) + A(£2)(yi(x(t2)) - 5i(0) + 51 (0) - 5(0))+
+ 5(0) - у) >11 ^sin4Z,G - l.OlLc - (cos4Lg + 1.01LG)—> °-
Аналогично получаем, что {p, z(t) — у) < 0. Поэтому, в силу непрерывности функции