Методы анализа устойчивости асимптотически инвариантных множеств

• Автор: Купцова, Светлана Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с.

Введение
Глава 1. Об асимптотической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений

Глава 2. Асимптотические положения покоя

§2.1. Асимптотические положения покоя в дискретных

системах

§2.2. Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений

Глава 3. Асимптотически инвариантные множества

§3.1. Асимптотически инвариантные множества в дискретных системах

§3.2. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений

§3.3. Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями

§3.4. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов
Глава 4. О возмущении траекторий автономных систем на плоскости
§4.1. О возмущении траекторий автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости в окрестности устойчивого предельного цикла
§4.2. Оптимизационная задача демпфирования переходных процессов на плоскости
Заключение
Библиография

Описание различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, осуществляется во многих случаях с помощью нелинейных систем дифференциальных уравнений или, в конце концов, приводится к таким системам. Основная задача прикладной математики состоит в создании наиболее адекватного прогноза поведения системы, описывающей ту или иную физическую модель. Однако, ввиду того, что начальные условия и некоторые параметры системы не могут быть известны абсолютно точно, появляется необходимость исследования не только конкретного движения, но и целого семейства движений, окружающих выбранное. Так появилась проблема, связанная с одним из важнейших свойств систем дифференциальных уравнений, а именно, зависимость её решений от начальных данных и параметров.
Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений
х = №,х,у)
от начальных данных (^о^о) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [11]) и Бендиксоном [10]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [13]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы опре-

Доказательство. Зафиксируем произвольную точку (fco, жо) и рассмотрим решение х(к,ко,хо) ■ Обозначим х(к,ко,хо) через х(к) и покажем, что х(к) ограничено при к ^ ко. Пусть это не так, тогда существует последовательность {fc;} —> -foo такая, что
ß{x(ki)) > + оо (3.3)
г-++оо
В этом случае для х(к) возможны следующие ситуации.
(А1) Существует fc ^ fco такое, что д{х(к)) > A(fc) для любого fc
(А2) Существует последовательность чисел {fcj ->• +оо, на которой д{х(Щ < A(fcj).
Покажем, что ситуация (А1) не возможна. Обозначим
т = V[k,x(k)) > 0 (3.4)
В силу условия 7) теоремы 3.1, существует Я > 0 такое, что
V(k,z) > т при ЦгЦ ^ Я. (3.5)
Не уменьшая общности будем считать, что Я > maxA(fc). В силу (3.3)

существует s, ks > к такое, что ß(x(ks)) ^ Я. Для числа ks найдётся число г ^ 1 такое, что k+r — ks. Таким образом, имеем: д(х(к+г)) ^ Я и ß(x(k+j)) ^ A(fc+i) для любого целого j Є [0, г]. Рассмотрим приращение функции V(k,z) на даїшом решении:
V(k + j,x(k + j))-V(k + j-l,x(k + j-l)) = W(k + j-l,x(k + j-l)), j Є [1,г], следовательно,
V(k + r,x(k + r)) = W(k + r- l,x(k + r- 1)) + V(k + r- l,x(k + r- 1))-