Равномерная оценка выпуклого компакта шаром произвольной нормы

• Автор: Златорунская, Ирина Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 99 с. : ил

Оглавление
Введение

Глава I. Редукция к задаче выпуклого программирования

§ 1. Некоторые свойства нормы

§2. Свойства вспомогательных функций К(х) и рА(х)

§ 3. Доказательство выпуклости функции Р(х) и вывод формулы

ее субдифференциала

§ 4. Формулы взаимного уклонения оцениваемого компакта и

шара. Теорема о редукции

Глава II. Некоторые свойства решения

§ 5. Необходимое и достаточное условие решения

§ 6. Теорема о пересечении множества решений с оцениваемым
компактом
§ 7. Случай включения множества решений в оцениваемый компакт
§ 8. Условие единственности решения
§ 9. Случай евклидовой нормы
§10. Свойства функции /г0(27) и многозначного отображения Лг(£>)
Глава III. Приближенное решение
§11. Случай сведения к задаче линейного программирования
§ 12. Оценка погрешности решения при аппроксимации компакта
многогранником
§13. Замечания к реализации метода Келли
§14. Схема метода
§15. Обоснование метода
Литература

Введение
1. Негладкий анализ и недифференцируемая оптимизация развивались в трудах Р.Т.Рокафеллара, Б.Н.Пшеничного, В.Ф.Демьянова, А.М.Рубинова, Ф.Кларка, Ж.-П.Обена, И.Экланда, Н.З.Шора, М.С.Никольского, Е.С.Половинкина ( [20], [18]- [19], [2[- [4], [11], [14]-[15], [21], [18], [16]) и других математиков.
Одним из направлений негладкого анализа является получение оценок и аппроксимаций достаточно сложных множеств множествами простой структуры. Такие задачи находят обширные приложения в естествознании, а также в самой математике. Можно указать на многочисленные работы, связанные с внешними и внутренними элипсоидальными оценками множеств и многозначных отображений (см., напр., работы Н.З.Шора [21], Ф.Л.Черноусько [22] и др.). Известны работы по внешним и внутренним оценкам заданных множеств ориентированными параллелепипедами и их приложениям (см., напр., [1]). Е.С.Половинкиным ( [16]) рассматривались внутренние и внешние многогранные аппроксимации выпуклых множеств.
Наряду с эллипсоидом и многогранником к числу наиболее простых множеств, как в геометрическом смысле, так и по числу задающих параметров, относится шар любой нормы. Задача о внешней оценке компакта шаром произвольной нормы, которая заключается в построении шара используемой нормы с наименьшим радиусом, содержащего оцениваемый компакт, рассматривалась Б.Н.Пшеничным в [18]. Понимаемая по аналогии задача о внутренней оценке заданного выпуклого компакта рассматривалась С.И.Дудовым в работах [5], [6].
2. Рассмотрим следующую задачу. Пусть задан непустой выпуклый компакт Д из конечномерного действительного пространства Мг, функция п(х) удовлетворяет на Мр аксиомам нормы,
р{А, В) = Бир т! п(х — у)

есть уклонение множества А от множества В,
h(A,B) = max{p(A, В), р(В, Л)}
есть расстояние Хаусдорфа между множествами А и В в норме п(-). Обозначим через
Вп(х, r) = {j6Rf:n(i-t/) < г}
шар в норме п(-) с центром в точке х и радиусом г. Тогда задачу о наилучшем приближении выпуклого компакта D шаром нормы п(-) в метрике Хаусдорфа, порожденной этой нормой, можно записать в виде
h,(D,Bn(x,r))—t min . (0.1)
aeür.rX)
Задача (0.1) впервые была поставлена и рассмотрена в работе М.С.Никольского и Д.Б.Силина [13] для случая, когда п(-) является евклидовой нормой. В этой работе доказаны существование и единственность решения, получено необходимое условие решения. Там же отмечено, что полученые результаты нетрудно перенести на случай более общей "эллипсоидальной" нормы, ввиду простой связи решений задач для этих норм. Заметим, что задача (0.1) рассматривалась авторами в рамках более общей задачи о наилучшем приближении элемента пространства непустых выпуклых компактов с метрикой Хаусдорфа элементами его подпространства, которое представляет из себя всевозможные линейные комбинации фиксированного набора элементов данного пространства.
Цель диссертации - исследование задачи (0.1) для случая произвольной нормы п(-).
3. На задачу (0.1) интересно посмотреть в сравнении с задачей о построении шара нормы п(-) с наименьшим радиусом, содержащего компакт D:
R(x) = тахп(а; — у) min (0.2)
i/eö * ' zeit»
и задачей о построении шара наибольшего радиуса, содержащегося в D:
рп(ж) = minn(a: — у) —¥ шах, (0.3)
уеО x€D

анализа [18, стр.142,теор.2.1], необходимым и достаточным условием решения задачи
Ф(ж) -4 min zeBr
является выполнение включения 0? £ 9Ф(з:о). Теперь для получения утверждения теоремы остается применить теорему 4.1. □
Замечание 5.1 Из теоремы 4.1 следует, что
X(D) = {у € Rp : Ф(у) = гшпФ(:с)}
а;€Жр
есть множество всех центров шаров наилучшего приближения для выпуклого компакта D и, в соответствии с теоремой 5.1,
хо £ X{D) 0Р е dR(xo) + дР(ха). (5.4)
СЛЕДСТВИЕ 5.1. Если выпуклый компакт D является центрально
симметричным относительно точки хо, то хо 6 X(D).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Легко видеть, что xq £ D, а множества QR(xо, D) и Qp(xо, П) являются симметричными относительно точки Хо. Покажем, что
0Р £ 8Р(хо). (5.5)
Действительно, возьмем некоторый элемент
v е Ще0)- (5-6)
Так как йр £ £>, то в соответствии с формулой (3.5), это означает существование элементов %и £ Qp{xо, Г2), иг £ -K+(yi,D), чисел таких, что

п*(Уг) = 1> V = CKiVf, Off = 1, Oli > 0, i = 1, ГП.
i=1 г=
Но тогда, в силу симметрии как множества (2р(ж0,^), так и всего множества D относительно точки жо, получаем, что
-Ух е <2р(ж0,п), -Vi G —/С+(—г/г, D), = 1, г = 1 ,т.'