Синтез фильтра пониженной размерности для динамических систем

• Автор: Малинина, Татьяна Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 103 c. : ил

Г л а в а I. Алгоритм субоптимального оценивания. Оптимальное преобразование гильбертовых пространств.

§ I. Оптимальное линейное преобразование

гильбертовых пространств

§ 2. Уравнения приближенной динамики.

Оценка вектора состояния системы

§ 3. Уравнения для ковариационной матрицы

ошибки субоптимальной фильтрации

§ 4. Оценка нормы ковариационной матрицы ошибки субоптимальной фильтрации

Г л а в а 2. Исследование структуры матрицы оптимального преобразования. Задача с неполной информацией.
§ 5. Оптимальное преобразование вектора состояния динамической системы в скалярную величину

§ 6. Оптимальная матрица преобразования в

задачах с неполной информацией
§ 7. Субоптимальное оценивание в установившемся
режиме
Заключение
Литература

Одним из наиболее интенсивно развивающихся разделов современной теории стохастического управления является теория фильтрации или теории оценок. Известны две взаимосвязанные прикладные задачи: оптимальной оценки и опти -мального управления физическими процессами при воздействии случайных возмущений и случайных ошибок в измерительных устройствах. Задача оценки заключается в аппроксимации поведения процесса по данным зашумленных измерений, наи -лучшей в смысле выбранного критерия, имеющего ряд функции от ошибки оценки. Задача управления состоит в определении входных управляющих воздействий рассматриваемого процесса для достижения определенной цели. Эти две задачи объеди -няют близость используемых математических методов, а глав -ное то, что первым шагом при отыскании управления обычно является оценка, то есть для эффективного управления процессом необходимо знать текущее поведение системы.
Теория фильтрации или теория оценок находит широкое применение для решения практических задач, оптимизации в различных отраслях науки и техники [5, 8, 14, 20, 21,
26 , 30 , 43-48 , 53-55 , 58 , 60 , 68 , 69 , 71, 72] . Здесь
и задачи навигации [5, 14 , 54 , 55 , 46-48] и наведения [ 8 ] , задачи управления высотой полета и анализа данных после полета самолета или космического аппарата [43 ] , задачи связи и радиотехники £ 26, 60 ] , задачи управления
крупномасштабным производством ^ 53
Первые работы, положившие начало современной теории фильтрации, появились еще в сороковых годах. Это были работы Колмогорова [ 24 ] и Винера [ 96 ] , в которых
они рассматривали стационарные процессы на бесконечном

интервале наблюдений. В случае непрерывного времени полу -чено интегральное уравнение Винера-Хопфа, определяющее весовую функцию фильтра, оптимального в смысле среднеквадратичной ошибки.
В шестидесятых годах появляются работы Калмана и Бьюси [22, 85-87 ] , которые внесли существенный вклад в раз
витие теории оптимальной фильтрации. В этих работах авторы обобщили теорию Колмогорова-Винера на случай нестационарных процессов. В алгоритме фильтрации Калмана для дискретных систем и алгоритме фильтрации Калмана-Бьюси для непрерывных систем ru -мерный вектор состояния системы задается конечно-разностным уравнением в дискретном случае
sfrfa*'/, к,к)г<Г(к,)}зс[о)-ОС0 (I) или дифференциальным уравнением в непрерывном случае
cL(-t)~ &ft)ft) Q fi) 'të'fc)-, fc,)’=i3oJ
где - неизвестный Л- - вектор состояния,
ïS Q J j ~ ^ j, K. j°- вектор возмущения типа белого шума с нулевым средним и известной неотрицательной интенсивностью О. fi) , переходные матрицы
Ш и SU) имеют соответствующие размерности, ~éo " начальное время, Ct0 - гауссовский вектор, /Y/bCo]-$o Р
М Г ОСо Яо'] -jP0
Уравнение измерений ^ (i) имеет вид ÿft) - -fû-ft) (2)
в непрерывном или дискретном случае, где 2*7%) т. -вектор типа белого шума с нулевым средним и известной положи -тельно определенной матрицей интенсивности Я fi). Вектора

а^И) = /мп, ск+ьУ Iе* 1СЛл,М*Лъ &*))(№<+
+ сч(±))%*/>[}Ыя&)+Л3(ь))/£*]Лг9 +* х
Со = ЛЧ* №-+Л^Ж; +
с<(+) - (Х<М< ?ЛЪ + 1сУ)Мъ)&< Ю +
М"У^ {{уи -гК +УЛ]?
А&) и А У)
наибольшие собственные числа матриц, соответственно, Доказательство. Матричное дифференциальное уравнениям (1.4.21) имеет решение по формуле Коши

X ^ АМ)Х Яо) Щ(ф) х ]%[ьг) с А) ^ 1.4. гз)
где [4, ъ) и удовлетворяют условиям
Лвц/*,*) , $/т,г)=£ъ
#1 [&,Х:) -I[+)&1 14.x) } Щ (т,г) = ^»ч-п.
Оценим нормы матриц (+,х) и Щ[4,Т:) , используя неравенство Важевского:
// ^ (4, г)Цл //$1 1га)И ]Аа 1Ъ)еС4<; £

// Щ (+,т)Ц ^ рЩ [г, т]Ц ъь/> / А &)(£•{*; г е-В
где _//Л и _Х (4) наибольшие собственные числа
матриц, соответственно Ул /4)+//&{£&) + $*Щ.