Задача оптимального управления в модели эпидемии

• Автор: Овсянникова, Наталья Игоревна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 144 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Оптимальное управление эпидемией путём вакцинации в неоднородном сообществе.
§1 Дискретная неуправляемая модель эпидемии
§2 Расчёт параметров модели с группой риска
§3 Дискретная управляемая модель эпидемии
1.3.1 Обоснование необходимости вакцинации
1.3.2 Управляемая модель эпидемии
1.3.3 Необходимые условия оптимальности
§4 Решение ДЗОУ с помощью вакцинации методом
градиентного спуска §5 Синтез управлений
§6 Сравнительный анализ решений ДЗОУ
1.6.1 Сравнение решений, полученных различными методами
1.6.2 Сравнение решений, полученных при различных
параметрах
1.6.3 Сравнение решений, полученных при различных Д1
§7 Переход от дискретной неуправляемой модели к
непрерывной
§8 Устойчивость неуправляемой системы
89 Стохастическая модель эпидемии
1.9.1 Общий вид непрерывных стохастических моделей 59 динамики
1.9.2 Сильная сходимость унифицированного разложения 62 Тейлора-Ито
1.9.3 Модель эпидемии с возмущённым коэффициентом роста 63 заболеваемости

ГЛАВА 2. Дискретная задача оптимального управления эпидемией путём изоляции
§1 Постановка задачи
§2 Алгоритм численного решения ДЗОУ методом проекций
градиента
§3 Анализ численного решения при различных параметрах
§4 Синтез управлений
§5 Сравнение решений, полученных различными методами
ГЛАВА 3. Дискретная задача оптимального управления эпидемией путём изоляции и вакцинации с учётом латентного периода
§1 Постановка задачи
§2 Алгоритм численного решения
§3 Результаты численной оптимизации
ГЛАВА 4. Комплексное управление эпидемией путём вакцинации, изоляции и информационно-образовательной программы.
§1 Постановка задачи
§2 Алгоритм численного решения задачи методом проекции
градиента
§3 Анализ влияния параметров на оптимальное решение
§4 Синтез управлений
§5 Выбор ОУ с целью минимизации затрат и времени
погашения эпидемии
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.
Понятие «эпидемия» происходит от двух понятий: демос - народ, эпи -внутри. В обиходе под эпидемией понимают быстроразвивающиеся процессы, стихийно охватывающие большие массы людей и развивающиеся в силу передачи друг другу заражающего «агента».
В настоящее время, так же как и во все предыдущие времена, огромной угрозой человечеству являются эпидемии инфекционных заболеваний. Так, мощные природные катаклизмы (наводнения, землетрясения) могут сопровождаться резким ухудшением санитарно-гигиенических и социально-экономических условий жизни пострадавшего от них населения [4]. При этом наиболее вероятно появление кишечных инфекций (холера, дизентерия, инфекционный гепатит и др.), в том числе в виде вспышек сыпного тифа, туляремии, чумы и других инфекций. Вместе с тем, сценарии неожиданного появления особо опасных инфекций на территории крупных городов России сегодня вполне возможны в результате актов биологического терроризма [8, 11, 12] с возбудителями натуральной оспы, сибирской язвы, геморрагических лихорадок или других опасных патогенов.
Таблица
Рейтинговые оценки значимости патогенов и экопатогенов [7]
место по значимости Наименование патогена Рейтинг
1 Оспа
2 Чума
3 Сибирская язва
4 Ботулизм
5 Вирусный энцефалит
6 Туляремия
7 Лихорадка Ку
8 Лихорадка Маргбург
9 Грипп
10 Сап
11 Сыпной тиф
12 Бруцеллез
13 Японский энцефалит
14 Желтая лихорадка
15 Холера
16 Столбняк
17 Дифтерия
Возбудители, приведенные в таблице 1, отличаются высокой вирулентностью и контагиозностью, устойчивостью существования во внешней среде, множественностью путей передачи, длительной выживаемостью в основных факторах передачи (воздухе, воде, пище, на предметах обихода и др.) и которые могут передаваться различными путями.

xj+1 = xj + At(-xSPjkyL - x; - vj +Aj),

yj*' = y + At(Xj|3jkyic YjYj - У) - yj),
(1.3.2.1)

где j = l,n, i=0,q-l, xj=xio»yj =yjo»t6[T]
Ограничения на вакцинацию:
а)0 б)Ev'
(1.3.2.2)
(1.3.2.3)
(1.3.2.4)
Если у‘ - это норма вакцинации группе у, то система уравнений примет
вид:
х'*1 = х;+дк-хр, - njX; - v;x; +лу,

у“ = у; + At(XjXPjkyi - у,у; - H-jY) - Д|Ур.
(1.3.2.5)

где j=l,n, i=0,q-l,
(1.3.2.6)
х1=хю>У1=У]о>
Функционал:
l j=l 1=0 j=I
характеризует цель управления для (1.3.2.1), которая состоит в том, чтобы минимизировать затраты на погашение инфекции, где С — средняя стоимость одного больного для общества в неделю (известная величина, для России это примерно 50$ [79, стр.7]), D, - стоимость вакцинации одного человека в у-той группе. Последнее слагаемое обозначает стоимость остаточных больных, которые могут вызвать вторичную инфекцию, поэтому их стоимость Bj (j = l,n,) должна быть большой (как штраф за недолеченных больных).
Если принять С равным одной условной денежной единице, то в (1.3.2.7):

i(v)=ZZcy]+djvj)At+Zbjyj -*inf
j=l i=0 j=l
(1.3.2.8)