Абстрактное кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах и его приложения к негладкой оптимизации

• Автор: Долгополик, Максим Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 140 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

1 1 Элементы топологии

1 2 Элементы функционального анализа II

1 3 Элементы выпуклого анализа

1 4 Элементы абстрактного выпуклого анализа

1 5 Элементы негладкого анализа и теории многозначных отображений

2 Абстрактные выпуклые аппроксимации негладких функций

2 1 Вспомогательные построения

2 2 Абстрактно кодифференцируемые функции

2 3 Абстрактно выпуклые аппроксимации
2 4 Исчисление абстрактно кодифференцируемых функций
2 5 Необходимые условия экстремума
2 6 Примеры //“кодифференцируемых функций
3 Кодифференцируемые функции
3 1 Предварительные сведения
3 2 Определение кодифференцируемости
3 3 Исчисление непрерывно кодифференцируемых функций
3 4 Необходимые условия экстремума кодифференцируемых функций
3 5 Некоторые свойства кодифференцируемых функций
3 6 Метод кодпфференциального спуска
3 6 1 Формулировка метода
3 6 2 Вспомогательные результаты
3 6 3 Исследование метода кодпфференциального спу'ска

3 6 4 Сходимость метода кодифференциального спуска

4 Исчерпывающие семейства неоднородных выпуклых аппроксимаций
4 1 Определение неоднородных выпуклых аппроксимаций
4 2 Исчисление неоднородных верхних выпуклых и
нижних вогнутых аппроксимаций
4 3 Условия экстремума
4 4 Метод спуска
4 4 1 Описание метода спуска
4 4 2 Исследование метода спуска
4 4 3 Сходимость метода спуска
4 4 4 Метод спуска и метод кодифференциального спуска
5 Приложения к задачам вариационного исчисления
5 1 Одна неыадкая классическая задача вариационного исчисления
5 2 Ныладкая задача Больца
5 3 Минимаксная задача вариационного исчисления
Заключение
Список обозначений
Литература

Введение
С появлением интегрального и дифференциального исчисления в трудах Ньютона и Лейбница математика более чем на два столетия обеспечила себя аппаратом достаточным как для теоретического исследования в различных областях науки так и для бесчисленных приложений Однако постепенно потребности самой математики и в первую очередь различных приложений привели к исследованию недифференцируемых функций Так, на пример естественным образом возникающая в теории приближений задача о наилучшем равномерном приближении непрерывной функции является существенно негладкой Все бо лее п более часто возникающие примеры недифференцируемых функций и задачи связанные с ними возбудили интерес математиков к изучению данных функций Основным результатом Э1н исследований шало появление новой богатой приложениями математической дисцишш ны — негладкого анализа а также становление новою понимания того что недифференцируемые функции являются не патологией, а нормой и достойным объектом исследования Наиболее яркой иллюстрацией этого факта является теорема С Банаха [66], утверждающая, что множество непрерывных функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке интервала [О 1] является тощим (или что тоже самое, множеством первой категории) в пространстве непрерывных функций (по этому вопросу см также [98])
Негладкие задачи впервые были поставлены и успешно исследованы российским математиком П Л Чебышевым [55] Однако, П Л Чебешыв использовал в своем исследовании юлько классические хотя и очень оршинальные методы Первые ниладкис методы ис-с юдования недифференцируемых функций появились в рамках выпуклою анализа [27 30-32 35 41 43,45 60 94,95 128) который наряду с теорией минимакса |8 11 15 36 37 52] послужил основой для формирования негладкого анализа В настоящее время выпуклый анализ является хорошо развитой областью математики имеющей многочисленные приложения [13 33 38-40 46 51 110)
Негладкий анализ как раздел математики изучающий недифференцируемые функции в первую очередь в связи с теорией негладких экстремальных задач сформировался

Предложение 2.3.1. Пусть множество Н замкнуто относительно сложения и для любого /г £ Н будет 0 6 пйДотЛ, Предположим, что функция / 12 —> М является Н-кодифференцируемой в точке т е 12 Тогда для любой пары, (Ф Ф) £ <5Я Дс) и для всех б £ эирр~(Ф Н) и р £ яирр~ (Ф Я) функция Ф + р является верхней Н -выпуклой аппроксимацией функции / в точке х, а функция /г + Ф является нижней Н-вогнутой аппроксимацией функции / в данной точке
2.4 Исчисление абстрактно кодифференцируемых
функций
В данном разделе мы посроим исчисление абстрактно кодифференцируемых функций При этом заметим что аналогичным образом можно получить некоторые правила для вычисления верхних Я-вынуклых и нижних Я-вогнутых аппроксимаций а также исчисление Я-гиподифференцируемых и Я-гипердифференцируемых функций
Пусть 12 С X — открытое множество Ясно что если функция / 12 —» К является Я-кодифференцируемой в точке X £ 12, то для любого с £ К функция / + с также 11-кодифференцируема в этой точке, причем М/ + с)(х) = 5н/(х) и Пн{1 + с)(х) = Яя/(х) Отметим еще два очевидных правила вычисления Я-производных
Предложение 2.4.1. Пусть функции /ь/2 12 —> К являются Н -кодифференцируемыми в точке т, и предположим, что множество II замкнуто относительно сложения Тогда функция /1 + /2 также является Н -кодифференцируемой в точке х, причем <5я(Л + /2)(х) = днМх) + дн}2{х) и Яя(/1 + /г)(х) = Яя/Дх) + Яя/2(т)
Предложение 2.4.2. Пусть функция ] 12 —» К является Л -кодифференцируемой в то-чке х £ 12 и пусть о £ К произвольно Предположим что 0 £ Я в случае а = О и Я является конусом в случае а У 0 Тогда функция а/ является Н -кодифференцируемой в точке х, <5я(а/)(х) = а<5я/(х) и Он(а{)(х) = аЯя/(х) в случае а ^ 0, и функция а/ является (—Н)-кодифференцируемой в точке х, 5(_Я)(а/)(х) = а5я/(ж) и П(_я)(»/)(х) = аЯя/(х)
Следствие 2.4.1. Пусть множество Я является линейным подпространством пространства КА (здесь КА — линейное пространство, состоящее из всех отображений из X в Ш) Тогда множество всех функций / 12 —!> К, являющихся Н -кодифференцируемыми в точке х £ 1! (или на множестве А С 12), есть линейное пространство относительно поточечных операций сложения и умножения на число