Достаточные условия оптимальности импульсных процессов и их приложения

• Автор: Антипина, Наталья Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 165 с.

Оглавление
Введение

Список некоторых обозначений и определений

1. Достаточные условия оптимальности в форме принципа максимума в классических задачах оптимального управления

1.1. Постановка задачи, обозначения и определения

1.2. Принцип максимума, экстремали и биэкстремали

1.3. Достаточные условия оптимальности в задаче с фиксированным временем

1.4. Иллюстрирующие примеры

1.5. Обобщение на задачи с нефиксированным временем. Достаточные условия в задаче быстродействия

2. Достаточные условия оптимальности импульсных процессов

2.1. Условия существования функций Ляпунова-Кротова в

вырожденных задачах с линейным управлением
2.1.1. Условия совместности неравенства Ляпунова-Кротова
2.1.2. Производная задача и импульсные процессы с траекториями из Lryo
2.1.3. Случай нерегулярного распределения д : введение гоховских переменных
2.2. Достаточные условия локальной оптимальности импульсных и особых процессов
2.2.1. Задача импульсного управления
2.2.2. Формулировки результатов
2.3. Доказательства условий локальной оптимальности
2.4. Достаточные условия оптимальности в задачах импульсного управления с траекториями ограниченной вариации
2.4.1. Постановка задачи
2.4.2. Принцип максимума
2.4.3. Разрывные функции Ляпунова-Кротова и достаточные условия оптимальности
3. Исследование импульсных экстремалей в моделях робототехники
3.1. Однозвенный манипулятор
3.2. Двузвенный манипулятор: модели со свойством корректности
3.2.1. Модель 1 (при отсутствии возмущений)
3.2.2. Модель 2 (с учетом внешних сил)
3.3. Двузвенный манипулятор: модель без условия корректности
4. Исследование моделей оптимального импульсного управления в маркетинге
4.1. Оптимальное планирование рекламных расходов в модели Эрроу-Нерлофа
4.2. Оптимизация рекламных расходов в модели Видала Вулфа
4.2.1. Постановка задачи
4.3. Оптимальное распределение рекламных инвестиций в обобщенной модели Видала-Вулфа
4.3.1. Описание модели и ее характеристика
4.3.2. Исследование модели
4.3.3. Построение квазиоптимального решения
4.3.4. Интерпретация результатов исследования
Литература

Введение
Теория оптимального управления обыкновенными нелинейными динамическими системами накопила большой спектр достаточных условий оптимальности. По типу экстремума и методам получения их можно условно разделить на два типа: локальные, связанные с той или иной аппроксимацией функционала и ограничений в подходящей окрестности исследуемого процесса, и глобальные, использующие идеи возмущения и/или расширения целевого функционала и допустимого множества процессов (с возможной их последующей локализацией для исследования относительного экстремума).
Теория достаточных условий слабого экстремума в классическом вариационном исчислении и достаточные условия высших порядков понтрягинского и сильного минимума в оптимальном управлении, полученные Н.П. Осмоловским для неособых экстремалей [83, 157] и А.В. Дмнтруком - для особых [36. 37, 130], могут служить наглядными примерами локального подхода. В то же время теория Гамильтона-Якоби [10. 19. 111, 127], [142, 143] и метод Каратеодори в вариационном исчислении, их аналоги [76. 110], [119] [122]. [126], [162] [164], [166], [167] и условия Кротова в оптимальном управлении (вместе с различными обобщениями и модификациями) лежат в русле глобальных методов. К ним примыкают и различные нелинейные преобразования задач оптимального управления (как правило, ведущие к расширению задачи): преобразование В.И. Гурмана к производной задаче [26]-[28], [30] [32]. переход к задаче сравнения по А.И. Москаленко [45, 96], метод разрывной замены времени [93] и ряд других.
К настоящему времени ясно, что достаточные условия, извлекаемые из локальных методов, вообще говоря, обладают большей универсальностью по сфере применимости (именно в силу их локальности и тесного примыкания к соответствующим необходимым условиям оптимальности). Однако глобальные методы в случае реализуемости дают больше информации о задаче в целом (например, об оптимальном син-

является выпуклым для всех ф = ((/’1, г/'а)- Следовательно, здесь невозможно построить порождающее семейство линейных функций, и теорема 1.1 не работает.
В то же время нетрудно проверить, что уравнение Гамильтона-Якоби
Х11Г,Х2 | + Г# = О
имеет, в частности, два гладких решения <р1,2 = ±ху и пару обобщенных, липшицевых решении <Р3,4 = ±Х-2 - /1X11. понимаемых в смысле [164, 167]. Они образуют разрешающее семейство в канонической теории, причем разрешающей будет также единственная липшицевая функция у>(/, х) = шдх<уЯ (£,.);). Очевидно, что ее можно представить
и как максимум семейства из шести линейных (по х) функций. Это показывает, что обращение предложения 1.3 не имеет места.
1.5. Обобщение на задачи с нефиксированным временем. Достаточные условия в задаче быстродействия
Вернемся к поставленной в п. 1.1 более общей задаче Г и распространим на нее достаточные условия теоремы 1.1, адаптированные как для сильного, так и глобального минимума.
Пусть
а = (хр).йр) | ? е Л = [0,0])
исследуемый допустимый процесс, <3 открытое множество в пространстве (/,х), содержащее график траектории 5Г(<), и у = (фф),а) некоторая биэкстремаль системы, определенная на интервале I = рг, <3 Э Л (напомним, что в задаче Р ф — (фх,фф)-
Определим для <3 и 7 следующие расширенные условия максимума понтрягпана и гамильтониана:
У с лов и е (МН | у, <3). Почти всюду на I
#(Гх(0,0Л0,и(0) + 4(0Д0 =
= шах{Я(Гх, и) + I ■,(/].!■ I х € <3(0. а Е П}.
У слов и е (М'Н | 7,(3). Почти всюду на I
пф.тж(1)) +
= тах{Я(Гх, Г,(0) + 'Лг(0х 1 х € <3(0}