Нелокальные улучшения в задачах оптимального управления с терминальными ограничениями

• Автор: Трунин, Дмитрий Олегович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 102 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Процедуры нелокального улучшения

1.1. Полиномиальная задача оптимального управления

1.2. Линейная задача оптимального управления

1.3. Проекционные процедуры нелокального улучшения

1.4. Модифицированные процедуры нелокального улучшения

1.5. Задачи с запаздыванием

1.6. Примеры

Глава 2. Методы возмущений

2.1. Метод возмущений краевой задачи улучшения

2.2. Метод возмущений задачи оптимального управления
2.3. Метод проекционных возмущений краевой задачи улучшения
Глава 3. Численные эксперименты
3.1. Вычислительные аспекты
3.2. Управление иммунным процессом
3.3. Управление численностью скота
3.4. Стабилизация вращения спутника
3.5. Задача из электротехники
3.6. Оптимизация рекламной стратегии фирмы
Заключение
Литература

Введение
Задачи оптимального управления возникают во многих областях научного знания. Прикладные задачи в области техники [35], [98]-[100], [110], биологии [14, 29, 36, 73, 116, 117], химии [100, 113], медицины [60, 108], а также в экономических и социальных пауках [14, 36, 37, 40, 41, 62, 126] все чаще формулируются как задачи оптимального управления.
Таким образом, актуальность разработки новых численных методов для решения задач оптимального управления обусловлена появлением достаточно большого числа задач прикладного содержания в различных областях естествознания.
Основой численных методов решения задач оптимального управления являются теоретические результаты, связанные с получением необходимых или достаточных условий оптимальности в различных классах задач. Данные методы используют различные конструктивные аппроксимации элементов задачи для построения методов численного решения.
Для решения задач оптимального управления в настоящее время разработано достаточно много различных методов и подходов. Большинство методов являются итерационными, цель итераций в которых состоит в получении лучшего по значению целевого функционала управления (релаксационные итерационные методы).
Традиционной моделью для разработки численных методов решения являются задачи оптимального управления со свободным правым концом. В этих задачах имеется только один (целевой) функционал и присутствуют поточечные ограничения на управление (как правило, простой структуры). Поэтому основные усилия при решении данного класса задач направлены на построение процедур улучшения целевого функционала, так как обеспечение допустимости управления здесь не представляет принципиальных затруднений.
Для решения указанного класса задач можно выделить методы последовательного улучшения управлений с использованием той или иной техники варьирования.
1. Градиентные методы развивались в работах О.В. Васильева, Ф.П. Васильева, В.А. Срочко, Р.П. Федоренко, A.C. Антипина и других исследователей [5, 24, 25, 27, 74, 79, 100, 107, 132, 133].
2. Методы на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина получили свое развитие в работах A.B. Аргучиицева, О.В. Васильева, Ф.П. Васильева, В.В. Дикусара, А.И. Егорова, Н.Е. Кирина, И.А. Крылова, A.A. Любушина, A.A. Милютина, В.А. Срочко, А.И. Тятюшкина, В.А. Терлец-кого, Р.П. Федоренко, Ф.Л. Черноусько и других исследователей [3, 6, 17], [24]-[27], [39, 44, 52, 57, 59, 61, 74, 75, 100, 104, 118].
Следующую группу методов составляют методы на основе достаточных условий оптимальности В.Ф. Кротова [56]. Данные методы развивались в работах В.А. Батурина, В,И. Гурмана, В.А. Дыхты, В.Ф. Кротова, И.В. Расиной, Д.Е. Урбаповпча и других исследователей [14], [35]-[37], [40, 41, 56].
Следующий обширный класс методов составляют методы на основе полной или частичной дискретизации с последующей редукцией к задачам математического программирования, для решения которых разработаны эффективные численные методы. Данное направление получило развитие в работах Ю.Г. Евтушенко, Ю.М. Ермольева, H.H. Моисеева, Э. Полака, Б.Н. Пшеничного, Ю.М. Данилина, Ф.Л. Черноусько и других исследователей [43, 46, 51, 63, 67, 71, 103, 104, 127].
Методы решения задач с импульсными управлениями и разрывными траекториями развивались в работах Л.Т. Ащепкова, В.А. Дыхты, О.Н. Самсонюк и других исследователей [10, 40, 41, 101, 106].
Отдельную группу методов поиска позиционных оптимальных управлений для линейных и других классов систем, составляют методы в работах Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой [11], [30]-[33].
Методы поиска глобального решения в невыпуклых задачах оптимизации развиваются в работах A.C. Стрекаловского [82]-[84], [114, 121], [128]-[130].
Алгоритмическое и программное обеспечение методов оптимального управления вместе с численным решением тестовых и модельных задач рассмотрены в работах В.А. Батурина, В.И. Гурмана, В.А. Дыхты, Ю.Г. Евтушенко, А.И. Тятюшкина, А.Ю. Горнова, Р.П. Федоренко и других исследователей [14, 36, 37, 41, 43], [98]-[100].
Принцип максимума Понтрягина [68, 69] позволяет редуцировать исходную задачу оптимального управления к двухточечной краевой задаче

Рассмотрим множество Уф (и0) управлений на выходе второго модифицированного метода нелокального улучшения.
В полной аналогии с предыдущими разделами можно сформулировать следующие предложения.
Предложение 1.4-3. Для любого V £ Уф(и°) имеет место улучшение целевого функционала с оценкой (1.4-5).
Предложение 1.4-4- Управление и0 6 Ж удовлетворяет регулярному принципу максимума тогда и только тогда, когда и° £ Уф (и®) хотя бы для одного а > 0.
Отметим, что если и0 £ У удовлетворяет регулярному принципу максимума, то и0 £ Уф(и°) для всех а > 0.
Введем предположение о выполнении следующего условия для выходных управлений:
Если иа ф и0, иа £ Уф(и°), а > 0, то J(va, и°) > 0.
С учетом оценки (1.4.5) и сделанного предположения сформулируем новое необходимое условие оптимальности.
Условие А2. Для оптимальности управления и0 £ У необходимо, чтобы оно было единственным управлением на выходе второго модифицированного метода улучшения для всех а > 0, т.е.
Уф (и0) = {и0}, а > 0.
Доказательство проводится в полной аналогии с доказательством условия А.
Отметим, что принцип максимума определяется условием
и0 е Уф (и0),
хотя бы для одного а > 0, т.е. является следствием условия А2.
Отметим, что краевые задачи в модифицированных методах нелокального улучшения имеют такие же свойства гладкости, что и краевые задачи улучшения в немоднфицированных методах.
Выделим основные свойства разработанных модифицированных методов нелокального улучшения
1. Нелокальность улучшения допустимых управлений без процедуры слабого или игольчатого варьирования.