Достаточные условия оптимальности в задачах управления

• Автор: Ананьев, Виктор Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 150 c. : ил

Некоторые используемые обозначения

Глава I. Неавтономные управляемые системы 13 §1.1. Поднятие экстремалей в Т* 3?*

§1.2. Поток на лагранжевом грассманиане А(Н),

Основные результаты

§1.3. Исследование потока на А(^

§1.4. Семейства лагранжевых многообразий

§1.5. Аналог необходимого условия оптимальности Якоби

§1.6. Вариационные задачи с линейными ограничениями

на скорость

§1.7. Доказательство теоремы 1.1

Глава II. Автономные управляемые системы

§2.1. Гамильтонов фазовый поток и аналог уравнения
в вариациях
§2.2. Кусочно гладкие лагранжевы многообразия и
достаточные условия оптимальности
§2.3. Траектории с самопересечениями
§2.4. Исследование потока . Доказательство
теоремы 2
§2.5. Поток ^ и лагранжевы конусы. Доказательство
теоремы 2
§2.6. Задача оптимального управления с функционалом
Лагранжа
§2.7. Пример
§2.8. Доказательство теоремы 2.Г
§2.9. Оптимальность траекторий, удовлетворяющих
принципу максимума с постоянной & ~ 0 . • . Ю9
Глава III. Особые оптимальные траектории §3.1. Подмногообразие XI* • Гамильтонов поток
в окрестности XI
§3.2. Построение кусочно гладкого лагранжева многообразия . . .
§3.3. Достаточные условия оптимальности
§3.4. Пример
Литература

НЕКОТОРЫЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
К - вещественная прямая.
- евклидово пространство.
Х= (х*,..хк) - координаты в Ц?п'
(V/, V) - росток подмножества IVс в подмножестве V с т.е• класс эквивалентности по следующему отношению эквивалентности: множества эквивалентны, если'
Ч/А П 0 = Л 0 для некоторой окрестности 0 множества V. Утвервдения о ростках понимаются как обычно: существуют представители ростков, для которых: данное утверждение выполнено.
- росток множества М/с Р"" в
точке х е
сО. IV - замыкание множества V/ с (р*1.
с^и/= УЛ с? «/ - замыкание множества У/ в V .
= И/ П Рп'х{ - слой множества 1^с Р** * Р •
= г||РГ1'х {-1} " сужение отображения £ * Р4"* Р —>
на слой £ - Шк’Ь ,
& : ТМ~*Т№ - касательное отображение к гладкому отображению М Л/ гладких многообразий А/ и N
|!*сО - прообраз внешней формы м? на Л/ при отображении
£: М —» Л/.
1Ь у - дифференцирование Ли вдоль векторного поля
% {^ 1 Л*} “ скобка Пуассона векторных полей Л
^ададком многообразии Н , ^ = 1Ь ^ 1Ь ^ ~ 1Ь ^ 1Ь
["£, - кососкапярное произведение векторов £ ? ^ £ Р2*.
, /4] “ скобка Пуассона функций Гамильтона Нл , .
Т(АН = 'дМ/фх, ~ гамильтоново векторное поле с
гамильтонианом И
□ - конец доказательства или утверждения.

Си неотрицательно, а С.% неположительно определены, то для доказательства леммы достаточно показать, что можно
выбрать так, чтобы С6а±Ф0. Предположим противное, т.е. для всякого вектора е (^а, ^ Д», = О.
Поскольку + ^ = + “(03х и А. ~ Дь + Дг > то
это означает, что для всякого решения системы
^4. % ^ Сг =• О,
^й. ^ + £«. °ч - с 6
выполняется равенство ^ ^ . Отсюда следует, что
Хт П Туг Сё ~0 или, переходя к ортогональным дополнениям, (Хм С^) ^ + (1м С(>)± = Ксг С у- £ег
Но это невозможно, так как сИм к«г + (^ш Ксг Се = -^с-1 + <ч+1 < ^ ^ • Полученное противоречие и завершает доказательство леммы, а вместе с ней и теоремы
§1.6. Вариационные задачи с линейными ограничениями на скорость
В этом параграфе гладкий означает класса С*° ,
Пусть на задано гладкое поле касательных плоскостей
/1/х с 7^ /£>'г и гладкая функция £> : /I/-*’’ К* на векторном расслоении /1/= и АС . Абсолютно непрерывную кривую у:
Г; /Т И.
1>°> чи ^ назовем допустимой, если для почти всех г: е
е [К 4] / М «■ ■
Рассмотрим следующую вариационную задачу: среди всех допустимых кривых ^ переводящих точку зс„ е в
точку хл & 1РК , найти такую, для которой функционал
Ф« = (цшуа^м (зг>
имеет наименьшее значение. Эта задача легко интерпретируется, как задача оптимального управления (4 ),(£). Именно, в окрестно-