Размерностные характеристики аттракторов дискретных систем

• Автор: Полтинникова, Мария Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Некоторые результаты, основанные на определениях

1.1 Ляпуновская размерность в неподвижной точке

1.2 Обобщённое отображение Каплана-Йорка

2 Диссипативное отображение Чирикова

2.1 Некоторые вспомогательные утверждения

2.2 Постановка задачи. Неподвижные точки

2.3 Формула ляпуновской размерности

2.3.1 Оценки ляпуновской размерности

2.3.2 Ограниченность поднятия решения на плоскость

2.3.3 Вывод формулы
3 Два отображения окружности, соединённые слабой связью
3.1 Постановка задачи
3.2 Основные леммы
3.3 Формула ляпуновской размерности

3.3.1 Оценка размерности
3.3.2 Случай, когда точка М4 — гиперболическая
3.3.3 Случай, когда точка М2 — гиперболическая
4 Численные эксперименты
4.1 Алгоритм построения инвариантных многообразий
4.2 Проверка алгоритма
4.3 Примеры для отображения Каплана-Йорка
4.4 Пример для диссипативного отображения Чирикова
4.5 Пример для двух слабо связанных отображений окружности
Приложение
Ограниченность решений фазовой системы
Некоторые свойства сингулярных чисел
Список используемых обозначений
Работы автора по теме диссертации
Литература

Введение
Изучение размерностных характеристик инвариантных множеств динамических систем получило широкое развитие в последние десятилетия. Выяснилось, что притягивающее множество даже простой динамической системы может иметь сложную структуру и вообще говоря не являться многообразием. Вообще говоря, у притягивающего множества динамической системы топологическая размерность может и не существовать. Для того, чтобы изучать числовые характеристики подобных множеств, понадобились различные обобщения понятия размерности на нецелые значения. Первым примером такой размерности является хаусдорфова размерность [5], которая может принимать любые неотрицательные значения, а на гладких многообразиях совпадает с топологической размерностью.
Дадим определение хаусдорфовой размерности. Рассмотрим компактное метрическое пространство X с метрикой р и его подмножество Е. Зададим число е > 0 и покроем множество Е шарами радиусов г,- < е. Пусть Ы — множество всех таких покрытий. Далее зададим число ё > О и для него определим с?-мерный объём покрытия 1] е Ы как
= 1У,-

Пусть ТЕ {в) — матрица Якоби отображения И в точке (9, г):
( 1 — ксоъДкв) Ь
ТР(в) =
у —ксоъ(21:0) Ь
Отметим, что бе! (ТП(0)) = Ъ. Собственные числа матрицы ТР(в) имеют вид;
^±(0) = ~ (1 + Ь — ксоъ{2кв) ± /(1 4- Ь — к со8(27г#))2 — 4Ь^ . (2.11)
Лемма 2. При в б]1/4,3/4[ собственные числа матрицы ТЕ(0) вещественные, причём |Л+| > 1, а |А_| < 1.
Доказательство. Если в 6 [1/4,3/4], то с = —к соз(27Гв) 6 [0, к], причём для 9 — 1/4 или 3/4 с = 0. Поэтому большее собственное число А+ внутри отрезка [1/4,3/4] больше, чем А+ на концах отрезка и на этих концах
А+ = — (^1 + Ь + л/(Т+ 6)2 — 4 — 1 .
Следовательно, |А+| > 1 для в £]1/4,3/4[.
Неравенство А_ < 1 равносильно неравенству
у/{1 + Ъ + с)2 — 46 > Ъ + с — 1,
которое верно для всех с > 0, а неравенство А_ > — 1 равносильно неравенству
/(1 + Ь + с)2 — 46 < 6 + с + 3,
которое верно для всех 6,с > 0. Поэтому |А_(б)| < 1 для в Є] 1/4,3/4[.
В результате получаем, что все неподвижные точки с ^ є]1/4, 3/4[ — гиперболические. □