Задачи дискретной геометрии шарнирных конструкций и схем

• Автор: Ковалёв, Михаил Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 240 с. : ил.

Введение
Конструкции из стержней, соединённых шарнирами изучаются двумя инженерными дисциплинами: теорией механизмов, когда такие конструкции допускают непрерывное взаимное движение стержней (изгибаемы), и строительной механикой — в противном случае (неизгибаемости). Всплеск математических исследований, связанных с шарнирными конструкциями, приходится на девятнадцатый век, век паровых двигателей и ферм железнодорожных мостов. Тогда исследованиями напряжений в шарнир- . ных фермах занимались такие учёные как Л.Кремона и Д.К.Максвелл. Луиджи Кремона ввёл понятие верёвочного многокгольника и написал курс графической статики[1]. Джеймс Клерк Максвелл доказал теорему об условиях существования положительных внутренних напряжений в плоской шарнирной конструкции (1864)[2, 3]. Шатунные кривые исследовал известный геометр и алгебраист А.Кэли (1875)[4]. Исходя из практической потребности получения наиболее точного прямолинейного движения с помощью простейших механизмов, знаменитым русским аналитиком П.Л. Чебышевым была создана теория многочленов наименее уклоняющихся от нуля на заданном промежутке. П.Л.Чебышев также придумал множество различных механизмов, в том числе и механизм с парадоксальными свойствами [5]. Из результатов общего характера следует назвать теорему А.Б.Кемпе (1876)[50] о возможности вычерчивания по частям любой плоской алгебраической кривой с помощью плоского шарнирного механизма. Подобную же теорему относительно вычерчивания алгебраических поверхностей в трёхмерном пространстве несколько позднее установил Г.Кёнигс (1897) [6].
В двадцатом веке тема математического исследования шарнирных механизмов стала казаться чем-то устаревшим и перестала привлекать внимание математиков. Автор монографии ’’Кинематическая геометрия

механизмов” (1978г.) К.Х. Хант в предисловии к этой книге даже сетует по этому поводу. Авторы книги [9] в связи с проблемой ’’различных сборок” шарнирных механизмов также отмечают недостаток разработок общетеоретического характера. Во второй половине двадцатого века интерес к вопросам кинематической геометрии в известной степени возродился в связи с развитием робототехники. При исследовании пространственных кинематических цепей были применены дуальные числа и так называемое винтовое исчисление, возникшее в 19 веке и развивавшееся в работах А.П.Котельникова [7] и Э.Штуди [8]. Касаясь математических оснований науки о механизмах, К.Х. Хант [51] писал: ’’Сами по себе эти понятия и законы не обязательно дают непосредственные практические результаты, хотя подчас и дают; более важное их значение — в указании плодотворных путей для дальнейших исследований, и, с другой стороны, — в отсечении заведомо бесплодных направлений.” Общие теоретические сведения по кинематике механизмов приведены в фундаментальной монографии О. Боттемы и Б.Рота (1979)[10].
Начало математическому изучению явления неизгибаемости положила знаменитая теорема О.Коши (1813)[13] об определённости с точностью до изометрий выпуклого многогранника, мыслимого составленным из неизгибаемых граней, соединённых между собой рояльными петлями. Вехами в этом направлении являются открытие Р.Брикаром (1897")[14] изгибаемых самопересекающихся октаэдров. Доказательство А.В. Пого-реловым (1949)[15] определённости с точностью до изометрий, а следовательно, неизгибаемости выпуклых замкнутых поверхностей с сохранением выпуклости. Построение Р.Коннелли (1978) [16] примера изгибаемого многогранника, гомеоморфного сфере. Доказательство И.Х.Сабитовым (1996) [17] неизменности объёма, ограниченного изгибаемым многогранником. Другим важнейшим понятием строительной механики является (статическая) жёсткость конструкции, то есть, возможность уравновешивания внутренними напряжениями в ней любых внешних нагрузок. Неизгибаемая конструкция не обязательно жестка. Доказательство жёсткости строго выпуклых многогранников связано с именами Г.Вейля, М.Дена, А.Д.Александрова. Исследование жёсткости многогранников и поверхностей естественным образом распостранилось и на шарнирные фермы, а также на вантовые конструкции (’’fcensegrity frameworks” по Р.Коннелли). В этом направлении начиная с работы Поллячек - Гейрин-гер (1927)[39], впервые установившей необходимые и достаточные усло-

вия жёсткости плоских реализаций общего положения графов, шарнирная конструкция рассматривается как точка многомерного пространства параметров, координатами в котором являются координаты всех свободных шарниров. Начиная с семидесятых годов предыдущего века этот подход был развит рядом канадских, американских и японских исследователей. В частности, результат Поллячек-Гейрингер был переоткрыт Ламаном (1970)[40], однако, найти подобный критерий для графа шар-нирника в трёхмерном пространстве до сих пор не удалось. Введение многомерных пространств параметров имеет мало смысла без рассмотрения их отображения, сопоставляющего положениям свободных шарниров квадраты длин рычагов шарнирника. Этому отображению, названому Б.Ротом и В. Уайтли (1981)[18] ’’edge function”, а, впоследствии, Р.Коннелли — ’’rigidity mapping”, автор присваивает термин ’’рычажное отображение”, по его мнению более отвечающий природе объекта. Несмотря на то, что рычажное отображение на каждом шагу возникает в работах по жёсткости и неизгибаемости, работ посвящённых систематическому его изучению в литературе автору не встречалось. На взгляд .штора это объясняется малоизученностыо квадратичных отображений в многомерном случае, а также сложностью получения достаточно содержательных общих результатов. Примеры таких, пока ещё не доказанных утверждений, касающиеся устойчивости и связи устойчивости с однозначной собираемостью шарнирных ферм, приведены в данной диссертации. Стоит отметить, что некоторые общие результаты, касающиеся рычажных отображений были получены в рамках так называемой геометрии расстояний (’’distance geometry”). В качестве примера приведём результат А.Барвинка [45] о том, что если незакреплённую шарнирную конструкцию с к рычагами можно собрать в каком либо d-мерном евклидовом пространстве, то её можно собрать и в евклидовом пространстве числа измерений равного ,
В последнее время появился ряд работ: Б.Ягги (1993)[19], Д.Звонкин (1995)[20], Г.Кинг (1998), М.Капович и Д.Миллсон (1998), И.В.Изместьев (2000)[46], М.Фарбер [21] в которых с точки зрения топологии и алгебраической геометрии изучаются конфигурационные пространства шарнирных механизмов. В частности, в работах Кинга [47, 48], а также М.Каповича и Д.Миллсона [49] уточняется на языке алгебраической геометрии и усиливается старый результат Кемпе. Эти работы также связаны с анализом рычажного отображения, хотя какого либо особого на-

КШС. Местной размерностью dim^ С множества С в его точке d назовем min din^Cfl t/d), где минимум взят по всем окрестностям Ud С 71г точки d. Объединение решений конечного числа конечных систем полиномиальных уравнений и неравенств относительно декартовых координат точки евклидова пространства называют полуалгебраическим множеством ([30]). Пусть Q : d,j > 0 — неотрицательный ортант стандартной координатной системы пространства 7Zr.
Теорема 1 Множество С С Q существенных КШС полуалгебраично, линейно связно, замкнуто, неограничено и имеет в каждой своей точке местную размерность, равную г/ = тахр6л*п RankdF(p).
Действительно, множество С полуалгебраично по теореме Тарского-Зайденберга [30, 31], как образ алгебраического множества Rdin при полиномиальном (рычажном) отображении F. Связность С вытекает из непрерывности отображения F и связности Rdm. Линейная связность множества С следует из его связности и полуалгебраичности. Покажем, что dinid С = г/. Поскольку max Rank dF(p) = г/, то dimd С < rj для любой точки d £ С. С другой стороны, в открытом множестве 1?_1(Пd) С Rdm непременно имеется точка ро невырожденности отображения F, в которой RankdF(p) = г/. По теореме о локально плоском отображении [32] существует окрестность W С F~1(Ud) точки ро такая, что F(W) С Ud есть 77-мерное множество. Следовательно, dinid С > г/, и dinid С = г/ для любой точки d £ С.
Замкнутость и неограниченность множества С сразу вытекают из непрерывности отображения F и следующей леммы ([65]).
Лемма 1 Образ любого ограниченного множества при рычажном отображении ограничен, а образ любого неограниченного множества неограничен.
Доказательство. Выберем прямоугольную декартову координатную систему в Rd с. началом в одном из закрепленных шарниров ЗШС. Пусть множество шарнирников Hr С Rdm задаётся системой неравенств
Х>£)2<Д2, 1 < к < т,