Неравенства колмогоровского типа на прямой, полупрямой, отрезке и окружности и задачи восстановления

• Автор: Михалин, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Оглавление
Введение

1 Предварительные сведения

§1.1 Постановка задачи о неравенствах для производных

§1.2 Выпуклый анализ

§1.3 Принцип Лагранжа

1.3.1 Формулировка принципа Лагранжа для выпуклых задач

1.3.2 Применение принципа Лагранжа в задаче о неравенствах для производных

§1.4 Задачи оптимального восстановления

2 Чебышевские и золотаревские сплайны

§2.1 Определение перфектных сплайнов и формулировка теоремы существования

§2.2 Доказательство существования и единственности чебышевских сплайнов
2.2.1 Существование чебышевских Ги„-сплайнов
2.2.2 Единственность чебышевских сплайнов
2.2.3 Доказательство единственности чебышевских сплайнов методом
Малоземова и Певного
§2.3 Доказательство существования и единственности золотаревских сплайнов
2.3.1 Обобщенные перфектные сплайны
2.3.2 Некоторые вспомогательные утверждения
2.3.3 Основной результат
3 Задачи экстраполяции и оптимального восстановления

§3.1 Чебышевские и золотаревские сплайны при малых размерностях и формулы восстановления
3.1.1 Задача без граничных условий
3.1.2 Задача с ограничением в левом конце отрезка
§3.2 Формула Домара-Буслаева и восстановление значений производных
функций из соболевского класса по неточной информации
§3.3 Эйлеровские сплайны и восстановление на окружности
§3.4 Формулы оптимального восстановления функций из соболевского класса
на отрезке по неточной информации
3.4.1 Постановка задачи и формулировка теоремы об экстраполяции
3.4.2 Доказательство основной теоремы
3.4.3 Некоторые частные случаи
Список литературы

Введение
Актуальность темы. Работа посвящена точным неравенствам для производных гладких функций. Важный класс таких неравенств составляют неравенства для производных на прямой и полупрямой вида
||*<«(.)||< А||Ж(.)||Т)||(.)||1(Т), (1)
где 0 к < п — целые, Т — прямая К или полупрямая М+, СЬ(Т) — пространство ограниченных непрерывных функций на Г с нормой ||£(-)11сь(:г) = 8ир(єТ |ж(і)|, Ь<х(Т) — пространство измеримых, существенно ограниченных функций на Т с нормой ||а:(-)||00(7’) = угаізир|х(і)|. Задача состоит в нахождении наименьшей константы К, при которой неравенство (1) справедливо для всех функций х(-) Є УЦ(Т) = (ж(-) Є Сь(Т)|а;(п-1>(-) Є АС{Т), х(-) Є (Т)}, где АС(Т) — пространство локально абсолютно непрерывных функций на Т. Эту оптимальную константу обозначим Кт(п,к).
Задача о вычислении точной константы в неравенстве (1) равносильна нахождению точного значения в следующей экстремальной задаче:
ж(к)(0) -> тах, ||л;(-)||счт) < 7ъ 1к(п)(011ь=о(Т) < 72 (2)
для некоторых 7і,72 > 0 (выбор этих констант на решение задачи не влияет). Функцию $'(), на которой достигается максимум в этой задаче, назовем экстремальной функцией. Задача (2) рассматривается нами также на окружности Т и на отрезке I = [0,1].
Точкой отсчета для данной тематики явилась заметка Э. Ландау [43], опубликованная в 1913 году, в которой было доказано, что Ак+(2,1) = 2. Годом позже Адамар [42] доказал, что Кк(2,1) = /2. Неравенство Адамара привлекло внимание А. Н. Колмогорова, и он поставил перед своим учеником Г. Е. Шиловым (в ту пору студентом, носившим фамилию Боссе Ю. Г., см. [7]) задачу обобщить результат Адамара на любые кип. Шилов нашел константу Кш(п, к) при п = 3,4 для всех к и при п = 5 для

на которые распадается множество [0,1] Ц[=1 Аз> Мь — количество точек альтернанса сплайна жД-), попавших в
Узлы сплайна жД-), принадлежащие нуль-интервалу (оу,/Зу), являются также узлами ж2(-). Соответствующие слагаемые у жД-) и ж2(-) равны и при вычитании взаимно уничтожаются. Поэтому реально в представлении вида (2.2) для ж(-) величина N не превосходит т — Х=1 кз- По лемме

Z(x) < п — 1 + то — £«* (2-3)

Оценим 2{х) снизу. Из того, что ту, у = 1,
Далее, у сплайна жД-) на Ду, у = 2

ц:=п + т + 1 — (и + у) — £(п — 1 + ку) — а; + 0хгг +

точек ту. Отсюда следует, что ж(-) имеет на [0,1] не менее

д — (д + 1 — ш) = п + т — дтг — £ «у + (0Х — 1)и + (9Ч — 1)г>

изолированных нулей с учетом их кратности. Прибавляя суммарную кратность нуль-интервалов, которая не менее дп, а также кратность концов отрезка, не попавших в нуль-интервалы, которая равна (1 — в)и+ (1 — вчу), получаем

Z{x) п + т — £ Ку,

что противоречит неравенству (2.3). Таким образом, единственность чебышевского (штгГДД-сплайна доказана.