Построение оптимальных пространственных фигур методами нелинейного программирования

• Автор: Цветкова, Евгения Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 225 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава

Теория выпуклых тел

1.1 Опорная функция выпуклого множества

Приближение выпуклых тел многогранниками

Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с

использованием опорной функции

Изопериметрические неравенства

1.2 Симметризация и родственные ей преобразовании выпуклых тел

Симметризация Штейнера

Симметризация Шварца
Фигуры постоянной ширины
1.3 Формализация экстремальных задач геометрии
Задача о построении выпуклой фигуры б е Г,(Д, Д), имеющей
максимальную площадь поверхности Б(П)
Задача о построении выпуклой фигуры Се С,(Д.О) имеюгцей
минимальную площадь поверхности 5(Р)
Задача о построении выпуклой фигуры Ие С, (Д Л), имеющей
максимальный объём У(Р')
Задача о построении выпуклой фигуры Р'е С, (ДД), имеющей минимальный объём У(П)
Глава
Решение экстремальных пространственных задач геометрии методом
штрафных функций и их аналитическое решение
2.1 Аналитический метод решения задач оптимального
управления
2.2 Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади
поверхност и
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения минимальной площади
поверхности
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения максимального
объема
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения минимального
объема
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры, обладающей максимальной площадью
поверхност и
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимального объема
2.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращении максимальной площади
поверхности методом внешних штрафных функций
Дискретная аппроксимация задачи
Алгоритм построения решения методом внешних штрафных
функций
Влияние вычислительных параметров на решение
задачи
2.4 Решение задачи о построении выпуклой центральносимметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом штрафных функций

Глава
Построение экстремальных выпуклых фигур вращения
методами нелинейного программирования
3.1 Решение задачи о построении центрально-симметричной выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного
спуска
Сравнительный анализ градиентных методов при решении задачи
3.2 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом градиентного спуска
3.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращения максимального объема методом градиентного спуска
3.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-
симметричной фигуры вращения минимального объема методом градиентного спуска
3.5 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска
3.6 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимального объема методом градиен тного
спуска
Глава

(*i т(в’ф) + х№,Щ x{{0*(p)+C°S(P х., (6.<р)+ х, ж(0.<р)| +
Sin (р Sill“ (р )
+ {х2 „{0,<р) + х2(в,(р)} х2(в,(р)+С0Ь<Р Xt v{9, _cos -о(0,(р) + х в(в,<р))+2с‘Р(х2 фв(в,<р)х{ в(0.ср) + х{ фв{в,(р)х2 „{в,<р))+ { ''
Sin (р Sin (р
+ [х; {в,<р) + х] (9,(p) + xi{0.(p)x) фф(в.(р) + X7(0jp)x-, ,№{в,ср))-
- . (ХГ vo(О, <р) + х; V0(О’ф))- 0. (о,<р)е л, иЛ2. s>n~ <р
В принятых обозначениях соотношения (1.13)-( 1.15) являются выражениями выпуклости рассматриваемой пространственной фигуры.
Полагая (9 = /,, <,о~1г, хи> = х,, х, и = х,, х, = х5, х, = х6,
формулируем задачу о максимальной площади поверхности произвольного выпуклого тела как многомерную задачу оптимального управления: минимизировать функционал
J(u].u2)= J J
2|sin/j|
(1.16)
— (х:,“(/, ,/2)-I-лг2"(/,,/,)J| sin?.
dt,dl1
при ограничениях:
Х (6 > 2 ) ~ (б ’2 )’ Т| /( (( ) = Х (?| ), Х2 (?| ) Х4 (( ’2 )>
х2 ,, (6 >'г) = *6 (( А г ) Х1 ,, (62) = --V1 (6 .'2) + (W1 (6 2) + и2 (‘ -‘г ))>
Х4 /, (б ’6 ) — — Х2 (б ’ 2 ) (1 (6 ’ 6 ) — 2 (б . 6 ))’
Л <х,((,/,)< D , - D < х2(?,,/,)< D,
Х{Р,'Т i)-a,’ Р, G 2-п г, е (-л-/2,тг/2), Д<о( < D ,j = ,г, О-1?)
(Х| /,/, (1.6) + 1 (1,6 )) Т, (/,./,)+ . X, (/,,/,) + , 2 Х| (/,,?,) т
sin(?2) Sin /2 )
I Sin(/2) Sin(/2) Sin 1 Sin(/2)