Особые экстремали в задачах оптимального управления, определяющих распределение Гурса

• Автор: Долгалева, Ольга Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

Предисловие

Глава 1. Распределения Гурса

§ 1.1. Векторные поля и распределения векторных полей на многообразии

§ 1.2. Распределения Гурса

§ 1.3. Особенности распределений Гурса

§ 1.4. Задача о тягаче с п прицепами

Глава 2. Движение тягача с двумя прицепами

§ 2.1. Постановка задачи о движении тягача с двумя прицепами

§ 2.2. Движение тягача с прицепами в системе координат, жестко связанной с тягачом

§ 2.3. Особенности распределения Гурса в задаче движения тягача с двумя прицепами

§ 2.4. Принцип максимума Понтрягина и особые траектории

§ 2.5. Особые траектории в задаче движения тягача с двумя прицепами
§ 2.6. Исследование многообразия {АД П Г+)
§ 2.7. Локальная оптимальность особых траекторий первого порядка, идущих по особенности распределения Гурса
Глава 3. Движение тягача с п прицепами
§ 3.1. Постановка задачи о движении тягача с п прицепами
§ 3.2. Нахождение особого многообразия
§ 3.3. Особенности распределения Гурсавзадачедвижениятягачаспприцепами
§ 3.4. Исследование многообразия {А/" Л Г+}
§ 3.5. Локальная оптимальность особых траекторий первого порядка, идущих по особенности распределения Гурса
§ 3.6. Задача о движении тягача с п прицепами в случае управления угловым
ускорением тягача
Литература

Предисловие
Широкий круг задач в теории оптимального управления решается с помощью известного принципа максимума Понтрягина — необходимого условия оптимальности траектории. В некоторых задачах максимум функции Понтрягина достигается более чем в одной точке. В этом случае однозначно определить оптимальное управление нельзя и тогда существенную роль играет возникающее при этом понятие особых траекторий, что приводит к необходимости специальных дополнительных построений, которые являются предметом изучения в настоящей диссертации.
Система дифференциальных уравнений, соответствующая задаче оптимального управления, естественным образом ассоциируется с распределением векторов скоростей на фазовом многообразии. Одним из важных случаев распределений на гладком многообразии является так называемое распределение Гурса. Пусть в каждой точке гладкого многообразия .2Г задано двумерное распределение В, порожденное гладкими линейно независимыми векторными полями Х,Х2 на касательном пространстве к этому многообразию. Последовательные коммутаторы векторов из £> порождают цепочку распределений ..., В^к Если каждая операция коммутирования повышает размерность ровно на единицу, то Б называется распределением Гурса.
В настоящей работе устанавливается связь между геометрической теорией распределений Гурса и теорией особых экстремалей в задачах оптимального управления. Рассматривается конкретная задача оптимального управления, определяющая на фазовом многообразии распределение Гурса, которое, в свою очередь, моделирует все возможные особенности таких распределений — задача управления движением тягача с п прицепами. Результаты работы дают новый метод доказательства оптимальности особых экстремалей в задачах, порождающих распределение Гурса. Полученные результаты
могут найти применение при решении практических задач, например, задач о мобильных роботах.
Работа выполнена в аспирантуре Механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Пользуюсь возможностью выразить глубокую благодарность моему научному руководителю профессору Михаилу Ильичу Зеликину за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Кроме того, с учетом (20), имеем
Ca(V 10) + Окончательно имеем уравнения, описывающие многообразие Mi П Г+:
(24)
Ч>Со + <Р2 So = 0;
<-Рг ~ ¥>4 = 0;
№ = 0; сд — 0.
При этом не забудем, что мы ограничились случаем sin /3 = 1.
Теорема 3. Поверхность Mifir+ является С°°-гладким многообразием с естественной гладкой структурой, индуцированной из расширенного фазового пространства. При этом codim М П Г+ = 4.
Доказательство. Выпишем матрицу Якоби системы уравнений (24):

(25)
0 0 —V? 1йо + <^2Со 0 0 Со во 0 0
00 0 00001
00 0 0000001
у 0 0 0 О-вдОООООу
Для того, чтобы определить размерность и установить гладкость поверхности М П Г+, нам будет достаточно ограничиться исследованием только тех столбцов ее матрицы Якоби (25), которые соответствуют переменным <РЪ Ч>2, <^4, <Р5, РСо So о
0 0-10 0 0 0
(26)
Рассмотрим миноры матрицы (26). Очевидно, что при sin/3 = 1 ^ 0, т. е. во всех точках поверхности М П Г+ ранг матрицы (26) равен четырем.