Применение конструктивных методов исследования устойчивости систем большого порядка в вычислительной практике

• Автор: Русакова, Яна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с. : ил

Оглавление.
Введение.
Глава 1. Обзор матричных, частотных и вычислительных методов в исследовании устойчивости.
§ 1. Матричные методы. Иннорный метод.
§ 2. Частотные методы.
§ 3. Вычислительный метод В.И. Зубова.
Глава 2. Рекуррентные методы преобразования коэффициентов при исследовании устойчивости.
§ 1. Алгоритм Евклида. Выделение корней.
§ 2. Метод понижения порядка и критерий асимптотической устойчивости.
§ 3. Операция сдвига и вырожденный случай. Критерий устойчивости.
Глава 3. Сравнительный анализ методов исследования устойчивости.
§ 1. Сравнительный анализ классических матричных методов исследования устойчивости.
§ 2. Сравнительный анализ частотных методов исследования устойчивости.
§ 3. Сравнительный анализ рекуррентных методов
исследования устойчивости.
Глава 4. Реализация рекуррентных методов исследования устойчивости и результаты численных экспериментов.
§ 1. Об устойчивости алгоритма.
§ 2. Общие характеристики программ.
§ 3. Программа построения полиномов Гурвица. Программа исследования полиномов на устойчивость.
Заключение.
Список литературы.

Введение.
Проблема устойчивости играет важную роль не только в математике, механике и технике, но и в физике, химии, биологии. Эта проблема исследовалась и решалась, начиная с середины позапрошлого столетия. Она возникла в связи с ростом мощности и быстроходности паровых машин и со склонностью этих машин к неустойчивости и самораскачиванию. Проблеме устойчивости посвящено огромное число книг, монографий и журнальных статей в которых излагаются методы исследования устойчивости и их применение к различным конкретным задачам. Уже давно в математической литературе излагались различные формы критериев устойчивости, обилие методов, способов исследования и отмечались связи между ними. Этот интерес объясняется широким практическим приложением в различных областях науки и техники. Первые успешные работы по устойчивости принадлежат Джеймсу Максвеллу, И.А. Вышнеградскому и Шарлю Эрмиту. Однако, они не получили широкой известности из-за плохой практической применимости в конструкторских расчетах. Позже задача была решена другими известными учеными и инженерами, в честь которых и стали называться методы предложенные ими. Условно при анализе результатов, полученных в этой области, можно выделить два основных направления: создание аналитических методов исследования устойчивости и создание вычислительных методов и алгоритмов решения этой проблемы. С другой стороны, эти методы достаточно взаимосвязаны и вычислительные методы также имеют своей основой глубокие фундаментальные исследования. Основные подходы к созданию аналитических методов исследования были разработаны А.М. Ляпуновым, и позже в русле его идей Н.Н. Красовским,
Н.Г. Четаевым, К.П. Персидским, Е.А. Барбашиным, В.В. Румянцевым,
В.И. Зубовым, В.М. Матросовым, Р. Веллманом, Д. Хейлом и другими крупными отечественными и зарубежными математиками. Из второго направления исследований можно выделить методы исследования устойчивости динамических систем по первому линейному стационарному

приближению, так как эти методы наиболее полно разработаны и позволяют решить многие практические задачи. Обычно эти методы принято разделять на: матричные (например, Рауса-Гурвица, Льенара-Шипара) и частотные (например, Михайлова, Найквиста).
Актуальность данной тематики определяется насущными проблемами науки и техники, связанными с постоянно расширяющимся полем применения различных методов исследования устойчивости. В различных областях науки все чаще и чаще возникает задача исследования систем очень высоких порядков, для которых известные методы трудно применимы. В связи с чем, перед учеными ставиться задача нахождения новых путей исследования устойчивости, с помощью которых возможно уменьшить трудоемкость и, следовательно, увеличить скорость определения устойчивости данных систем.
Вопрос об устойчивости линейной стационарной системы X = Ах, как известно, сводится к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического многочлена системы. Однако используемые методы имеют недостатки в основном в плане необходимости выполнять огромное количество арифметических операций, особенно для систем большого порядка. Для систем же выше 1000 порядка решить вопрос об устойчивости линейной стационарной системы с помощью некоторых методов вообще невозможно за обозримое время. Увеличение порядка исследуемых систем, связана со всеобщим внедрением быстродействующих компьютеров, обладающих высокой разрядностью. Поэтому стало актуальным разработка методов обладающими соответствующими характеристиками.
Поэтому целью диссертации является исследование различных характеристик наиболее известных вычислительных методов оценки качественного поведения динамических систем по первому линейному приближению и созданию для систем большого порядка новых эффективных алгоритмов такой оценки на основе последних достижений в этой области.

w(z) = w = TTv (2Л5)
№ x(t)
где R(z) = b0+blz + ... + bmzm - характеристический многочлен регу-
лирующего органа отрабатывающего управляющий сигнал X (t),
a Q(z) = с0 + q2 +... + cnzn - характеристический многочлен свободного движения этой системы Y(t) при отсутствии управляющего сигнала (т < п).
Рассмотрим разные случаи.
1. Система устойчива в разомкнутом состоянии.
Так как система устойчива в разомкнутом состоянии, то корни характеристического уравнения свободного движения системы Q(z) лежат в левой полуплоскости, т. е. Re(z) < 0.
Введем в рассмотрение вспомогательную функцию
У, (г) = 1 + У(г) = , (2.16)
Q(z) Q(z)
где числитель Z)(z) = ûEq + ctyZ +... + anz11 представляет собой левую часть характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии.
Сделаем подстановку z = ю> , и получим
Wl(z)=ntH' (2Л7)

По критерию Михайлова изменение аргумента Q(i(ù ) » ПРИ . пп
и <00 <оо равно —, так как разомкнутая система устойчива. То есть
угол поворота вектора <9(ю) ) против часовой стрелки .
С другой стороны требуется, чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии. Для этого нужно потребовать, чтобы изменение ар-