Переговоры в динамических играх

• Автор: Забелин, Анатолий Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 115 с.

Содержание
Введение
1. Теоретико-игровая модель арбитража
§1.1. Постановка задачи об арбитраже
§1.2. Согласительный арбитраж и арбитраж по последнему предложению. Выбор
арбитра постоянен
§1.3. Согласительный арбитраж и арбитраж по последнему предложению. Выбор
арбитра — непрерывная случайная величина
§1.4. Арбитраж по последнему предложению. Решение арбитра — дискретная
случайная величина
§1.5. Моделирование на ЭВМ
2. Динамические модели арбитража со случайными предложениями
§2.1. Арбитражная схема для двух лиц. Антагонистический случай
§2.2. Арбитраж между двумя лицами. Неантагонистический случай
§2.3. Арбитраж между тремя лицами
3. Задача о налогообложении, допускающая переговоры
§3.1. Игровая модель инспектирования без переговоров
§3.2. Инспектирование, допускающее переговоры
Заключение
Приложения
Библиография
Введение
В данном диссертационном исследовании рассматриваются некоторые теоретико-игровые модели переговоров и арбитража.
Задачу переговоров (bargaining problem) впервые сформулировал Эджворт (Edge-worth F.Y. [41])у рассматривая её как фундаментальную проблему экономики. В качестве решения задачи торга между двумя лицами он предложил так называемую контрактную кривую и показал, что для модели с двумя товарами и двумя типами потребителей контрактная кривая превращается во множество конкурентных равновесных ситуаций, если число потребителей каждого типа стремится к бесконечности.
Содержательно переговорные модели можно разделить на несколько групп. К первой группе относятся задачи дележа, в которых игроки должны путём переговоров разделить между собой некоторый ресурс. Ко второй группе относятся игры, в которых делёж ресурса регулируется арбитром — лицом, не являющимся игроком, независимым от игроков и пользующимся собственными соображениями о справедливости. Такие задачи иначе называются арбитражными схемами. К третьей группе относятся игры, не являющимися моделями дележа, в которых игроки ведут переговоры, реализуя переговорные стратегии, определённые правилами. Как пример таких игр, можно привести задачу переговоров между органами правопорядка и террористами (Kraus S., Wilkenfeld J. [48]) или задачу инспектирования, допускающую переговоры о даче взятки налоговому инспектору (Vasin A.A., Agapova О.В. [72]).
К настоящему времени сформировалось два основных подхода к решению задачи переговоров. Первый из них, так называемый аксиоматический подход, был разработан Нэшем (Nash J.F. [55], [56]). Предположим, что в бескоалиционной игре I игроков вектор гарантированных выигрышей обозначен через (u°)J=l. Рассматривается переговорное множество U — множество всех возможных векторов выигрышей таких, что щ ^ и° для всех г = 1.../. Определяется система аксиом, являющаяся

принципом оптимальности игры переговоров и в переговорном множестве разыскиваются все векторы выигрышей, удовлетворяющие этому принципу оптимальности. В случае аксиоматики Нэша оптимальное решение (u?)*=1 имеет вид

К)Ц = argmax ТТ{щ — и°).
M‘i=l€U ti
Для того, чтобы данное решение безоговорочно соблюдалось всеми игроками, необходим арбитр и в аксиоматической схеме он является пассивным лицом, лишь обеспечивающим исполнение оптимального решения.
В дальнейшем система асиом Нэша подвергалась критическому рассмотрению со стороны ряда авторов. Калаи и Смородинский (Kalai E., Smorodinsky М. [46]) заменили аксиому независимости от посторонних альтернатив аксиомой монотонности, принимая во внимание работу Райфы (Raiffa Н. [60]). Перле и Машлер (Perles М., Maschler М. [59]) разработали так называемое супераддитивное решение, введя в переговорное множество всё множество векторов выигрышей, оптимальных по Парето. Шепли (Shapley L.S. [69]) предложил собственную систему аксиом, позволяющую находить решение игры переговоров, рассматривая коалиции игроков и определённую на этих коалициях характеристическую функцию, отражающую гарантированный суммарный выигрыш игроков каждой коалиции. Рассматривая меры частей пространства выигрышей игроков, задаваемых неравенствами щ ^ и*, где (гг*)-=1 суть возможное оптимальное решение, и определяя оптимальное решение как элемент множества оптимальных по Парето векторов выигрышей, для которого все меры указанных множеств равны, было получено так называемое равноплощадное (Equal Area) решение (Anbarci N., Bigelow J. [19]). Аксиоматический подход обсуждался в работах таких авторов, как Рот (Roth А. [61]), Бинмор (Binmore К.G. [23], [24], [25]), Харсаньи (Harsanyi J.C. [43], [44]), Новак (Nowak A.S. [57]), Лере (Lehrer Е. [49]).
Второй, стратегический подход к решению задачи переговоров заключается в том, что игроки в процессе обмена предложениями (реализуя свои стратегии) без участия арбитра пытаются достигнуть ситуации равновесия. Обычно в рамках такого подхода процесс переговоров моделируется динамическими играми. Чтобы игра не продолжалась бесконечно, либо вводится дисконтирование выигрышей, либо назначается плата за разыгрывание каждой партии. В русле стратегического подхода Рубинштейн (Rubinstein А. [62]) разработал понятие совершенного равновесия. Лейтманн и Лиу (Leitmann G., Liu Р.Т. [50], Leitmann G. [51]) исследовали дифференциальную модель переговоров между рабочими и администрацией о величине заработной

Пусть afc e [0.5; 1]. Вид матрицы выигрышей следующий:
а>к 1 — а*; ак ÖVk-
Элементы второго столбца не превосходят элементов первого столбца, откуда оптимальная стратегия второго игрока Sg = 0. Оптимальную стратегию первого игрока можно определить, рассмотрев соотношение между 1 — йк и Если 1 — ак > ÖVk-i
или ак < 1 — Svk-i, то sf = 1, а если 1 — ак ^ 5vk-i или a*, ^ 1 — 5vk-ь то s{ = 0.^ Выигрыш первого игрока при оптимальной игре обоих игроков:

/ 5vk-dak+ / akdak+ / (1-a*) / ÖVk-i dük = (6vk~)2 + 0.25.
0 Jt*-! 0.5 1 -,5V*-!
Дока?кем истинность импликации: Vk-i 6 [0; 0.5) =>• Vk € [0:0.5). Имеем выполнимость цепочки неравенств:
%-! < 5 < 5щ~1 < b ('5и‘-1)2 < u* = (fot-O2 + <
По индукции, так как г»о — 0, имеем, что для всех к ^ п выполняется следование Vk-1 6 [0; 0.5) =Ф- Vk € [0; 0.5). Тем самым мы обосновали корректность решения игры. □

Теорема 2.1.2. lim vn =-------- - ■■■ ■
п-н>о 2(3^
Доказательство. Ввиду того, что в формулу Vk — (5vfc_1)2+0.25 не входит явно п, то можно считать п и к тождественными, чтобы исследовать асимптотику выигрышей.
Имеем, что vi — г>о = 0.25 > 0. Пусть для некоторого к ^ п — 1 выполняется Vk ~ Vk-i > 0. Тогда
Vk+i -vk = (Svk)2 + 0.25 - (<5u*_i)2 - 0.25 = 52{v - v_J > 0.
Отсюда, последовательность Vk является возрастающей. Кроме того, она ограничена сверху 0.5, и, следовательно, имеет предел. Этот предел V должен удовлетворять уравнению

Это уравнение имеет два решения: —г и --------------—--------------, но только второй из
2о^ 2о^
них удовлетворяет условию V € [0; 0.5].