Кооперативные принципы оптимальности для игр с упорядоченными исходами

• Автор: Пасечник, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Глава 1. Индивидуально рациональные исходы в
антагонистических играх с упорядоченными исходами
1.1 Антагонистические игры с функциями выигрыша
1.2 Антагонистические игры с векторными выигрышами
1.3 Структура множества индивидуально рациональных исходов в антагонистических играх с упорядоченными исходами
1.4 Непустота и единственность множества индивидуально рациональных исходов в антагонистических играх с упорядоченными исходами
Глава II. Игры п лиц с квазиупорядоченными исходами
2.1 Условия непустоты множества индивидуально рациональных исходов и множества дележей
2.2 Условие единственности индивидуально рационального исхода
в играх п лиц с квазиупорядоченными исходыми
Глава III. Обратные задачи для кооперативных игр с
упорядоченными исходами
3.1 Задача восстановления антагонистической игры с упорядоченными исходами по множеству индивидуально рациональных исходов
3.2 Задача восстановления игры п лиц с квазиупорядоченными
исходами по множеству индивидуально рациональных исходов
3.3 Задача восстановления игры с квазиупорядоченными исходами
по характеристической функции
Список литературы

1. В последние десятилетия в теории игр значительное развитие получили исследования игр, в которых предпочтения игроков задаются не функциями
выигрыша, а их отношениями предпочтения. Укажем основные направления этих исследований, ведущихся как в нашей стране, так и за рубежом:
a) разработка подходов к общему определению игры с отношениями
предпочтения (H.H. Воробьев [11], Э.И. Вилкас [8 ]);
b) выработка принципов оптимальности для классов игр с отношением предпочтения (Э. Вилкас [7,8], Б. Пелег [41 ], В.В. Подиновский [28, 29], В.В. Розен [ 32, 33, 34], Б.Г. Миркин [17]);
c) нахождение условий существования ситуаций равновесия в играх с
отношениями предпочтения ( Р.Ауманн [40], Е.Б. Яновская [39], В.В.Розен [32,33]);
d) нахождение условий существования ядра и решения для бинарных
отношений, заданных на топологических пространствах (О.Н. Бондарева [4], Т.Е. Кулаковская [15], A.A. Аракелян [2] ).
Отдельные вопросы, касающиеся игр с отношениями предпочтения, затронуты в монографиях К. Бержа [3], Льюса и Райфа [16], В.В. Розена [31], Миркина [17], статьях ( Фаркуарсон Р [42], Зенкевич Н.А, Сурвилло Т.Г.[13], Шолпо И.А.) и другие.
Систематическое изучение игр с упорядоченными исходами предпринято
В.В. Розеном. В работах [31,33] введены различные принципы оптимальности для стратегических игр с упорядоченными исходами и найдены достаточные условия их реализуемости. В статье [32] предложены различные способы введения характеристических функций для игр с упорядоченными исходами и изучены их свойства.
2. В теории игр сложилось два подхода к анализу игры: некооперативный и кооперативный. При некооперативном подходе анализ игры ведется в предположении независимости действий игроков, которая объяснятся либо правилами игры, либо разобщенностью игроков (в частности, отсутствием возможности обмена информацией между ними). При кооперативном подходе, напротив, предполагается, что игроки могут создавать коалиции, наделенные собственными интересами и возможностями воздействия на появление тех или иных исходов игры. В кооперативной теории игр основное ее внимание сосредоточено на поведение коалиций.
Тематика данной диссертации относится к кооперативной теории стратегических игр. Основной изучаемой моделью является стратегическая игра вида:
G=< N,{Xi)i^N,A,{coi)ieN,F> , (1)

где N = { n} - множество игроков, ЛГ,-множество стратегий игрока /, А -множество исходов, со,- бинарное отношение на А, выражающее предпочтения игрока /', Д- функция реализации, представляющая собой отображение множества ситуаций игры G в множестве ее исходов: F: XN -> А.

Подсистема < (Xt)ie V,A,F > системы (1) представляет собой реализационную структуру, а подсистема - оценочную структуру игры G. Далее полагаем п > 2; | Xt |> 2 (/ е ;V); | Л |> 2.
Игра протекает следующим образом. Каждый игрок / е N независимо от остальных выбирает стратегию х,еХ,, в результате складывается ситуация x = (x,)ieMt приводящая к исходу a=F{x). Если(а,,а2)еш,, то исход а2 считается не менее предпочтительным для игрока чем исход а,. Далее мы используем запись
СО) СО
at Если все отношения щ.(г е N) являются отношениями порядка, то игра G называется игрой с упорядоченными исходами. Если отношения со: (г е N) являются отношениями квазипорядка - игрой с квазиупорядоченными исходами.
Для анализа кооперативного аспекта игры G необходимо для каждой коалиции SqN определить множество ее стратегий X, и ее отношение предпочтения . В данной диссертации мы полагаем для S cN:
X. = \Xt, (2)

cos=f)cot . (3)

Замечание 1. Равенство (2) означает, что коалиция S в состоянии «воспроизвести» любую ситуацию, обусловленную возможностями входящих в нее игроков. Таким образом, при создании коалиции S, она действует как один игрок, агрегируя возможности входящих в нее членов. Равенство (3) постулирует, что для коалиции S предпочтительней тот исход, который является более предпочтительным для всех ее игроков. Если все or{i е N) являются отношениями (квази) порядка, то cos также будет отношением (квази) порядка.
3. Перейдем к описанию основных кооперативных принципов оптимальности для игр вида (I). В дальнейшем изложении существенную роль будут играть характеристические множества коалиций игры G. Заметим, что характеристические множества вводились разными авторами для различных классов игр: Г. Иенчем для

1.4 НЕПУСТОТА И ЕДИНСТВЕННОСТЬ МНОЖЕСТВА ИНДИВИДУАЛЬНО РАЦИОНАЛЬНЫХ ИСХОДОВ В АНТАГОНИСТИЧЕСКИХ ИГРАХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ИСХОДАМИ
1.4.1. Задача этого параграфа - нахождение достаточных условий непустоты и единственности индивидуально рационального исхода в антагонистических играх с упорядоченными исходами.
Теорема 1.4.1. Пусть в антагонистической игре 0=<Х, У,А,а>р> с упорядоченными исходами все цепи упорядоченного множества <А,со> конечны. Тогда множество индивидуально рациональных исходов в игре б непусто: ДбУ 0 Доказательство.
1-й случай: Ц*х (б) Ф 0, бС(6) Ф 0. Так как в упорядоченном множестве <А, а>> все цепи конечны, то в нем выполнено как условие обрыва возрастающих цепей (ОВЦ), так и условие обрыва убывающих цепей (ОУЦ), поэтому каждое непустое подмножество множества А имеет как максимальный, так и минимальный элементы.
Пусть а* -максимальный элемент подмножества А* (б), 6’-минимальный элемент
подмножества б^(б). Так как й £6^(6), то найдется стратегия ХхеХх , при которой
(VуеУ) Р{хх,у)>а (1.4.1)
Так как Ь £ А(Д)> то найдется стратегия Ух ёУ , при которой

(УхеХ) Р(хх,ух)<Ь . (1.4.2)
Полагая в соотношении (1.4.1) у=у и в соотношении (1.4.2) х=Хи получаем
* ф ш ф * Г*
а* <Р(хх,ух)<Ь . Так как Р(хх,у1) >а и а'- максимальный элемент в Д(б), то

/г(х1,_у1) й Ц*Х(С), ТО есть Р(хх,ух)е ((/,*(6))' = Д (б). Так как Р(х1,у1) < Ь и Ь' -минимальный элемент в б£(б), то ДздДб^б), то есть Р(хх ,» ) £ (Д(б))' = Д(б). Следовательно,
Р(хх,ух) е Д (б) п А (б) = Дб).
Таким образом Д6Д0.