Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления волновыми процессами

• Автор: Лутковская, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 151 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обобщенное решение нелинейного волнового уравнения и его свойства
1.1 Постановка задачи
1.2 Сведение начально-краевой задачи для волнового уравнения к смешанным задачам для гиперболических систем
1.3 Характеристики
1.4 Интегральный эквивалент инвариантной системы
1.5 Обобщенное решение
1.6 Метод последовательных приближений
1.7 Свойства обобщенного решения
2 Условия оптимальности в задаче оптимального управления нелинейными волновыми процессами
2.1 Постановка задачи
2.2 Эквивалентная задача
2.3 Сопряженная задача
2.4 Характеристические вариации и вариационный принцип максимума
3 Численные методы
3.1 Методы вариационного принципа максимума
3.2 Методы конечномерного принципа максимума
3.3 Градиентные методы
3.4 Комбинация методов

Введение
Задачи оптимального управления процессами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, на настоящий момент изучены намного глубже, чем задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами. Однако, уравнения в частных производных имеют более интересные практические приложения. Например, для описания поведения сплошной среды (газ, жидкость, твердое тело) в теоретической физике используются различные модели, которые в большинстве случаев приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными. Ясно, что задачи управления распределенными системами или уравнениями с частными производными гораздо тяжелее с математической точки зрения, чем задачи с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Поэтому большинство авторов рассматривают их не в общей постановке, а для конкретных вариантов. Например, ограничиваются только одним типом уравнения в частных производных, частным случаем начально-краевых условий, рассматривают линейные или квазилинейные процессы. В диссертационной работе рассматривается задача оптимального управления нелинейным волновым уравнением с нелинейными граничными условиями, охватывающими одновременно все три типа граничных условий, обычно рассматриваемых для такого уравнения. В правой части

волнового уравнения предполагается нелинейность не только по функции решения, но и по ее первым частным производным по временной и пространственной переменной. Целевой функционал, описывающий качество управляемого процесса, тоже взят в общем виде: с нелинейными функциями в терминальной и интегральной частях. Прикладная значимость работы определяется прежде всего широким спектром приложений. Волновым уравнением описываются процесс колебаний струны, продольные колебания стержней и пружин, крутильные колебания длинных стержней, колебания давления в длинных газопроводах, колебания напряжения и силы тока в электрических проводах, длинные волны цунами и т. д. Причем нелинейность правой части волнового уравнения позволяет охватить существенно большее число приложений. Так, при моделировании колебаний струны, только при дополнительных предположениях о малости амплитуд колебания можно рассматривать линейные уравнения. Явная зависимость правой части от первых частных производных по времени, описывающих скорость смещения, и по пространственной переменной, описывающих упругую силу, также важна. И наконец, включение управляющих воздействий в правую часть волнового уравнения, в граничные условия и в целевой функционал, дает возможность всеми этими процессами управлять. Таким образом, актуальность и новизна диссертационной темы связана как с богатыми возможностями приложений, так и со степенью общности поставленной задачи.
В обзоре в первую очередь остановимся на тех работах, которые наиболее близко примыкают к рассматриваемой теме и позволяют указать место предлагаемого исследования по отношению к имеющимся.

на правую границу прямоугольника П (см. рис.1).
В дальнейшем нам потребуется вычислять производные от характеристик. Покажем, что для производной а*(£,т;£) справедливы равенства
ще,т;() = МН|Щ)). (3.3)
Для этого продифференцируем тождество (3.1) при 5 = 5±(фт;£) по переменной £, получим соотношение:
4(0т' О = ±а'(в±(0г; 0)4(О т; г).
Будем рассматривать его как обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции г} = 4(фтД) как функции времени. Решая это
уравнение с начальным условием Коши йДтд) = 1, получим:

4(0 н 0 = ехр(± I а/(5±(ф т; а))<&*).

Так как
/а'(з±(0'г; а))а = ±[ /±/5’= ±/ сПпафт; а)), т г Д® V?) Т ) г
(3.3) доказано. Из него, в частности, легко следует двусторонняя оценка