Неголономные вариационные задачи

• Автор: Гершкович, Владимир Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 162 c. : ил

Введение

Глава I. АБСОЛЮТНО НЕШПОНОМНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА РИМАЮЕЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

§ I. Краткое содержание главы и исторический обзор

§ 2. Основные определения

§ 3. Теорема о приведении струи регулярного распределения к кваз и нормаль ной форме
§ й. Верхние оценки множества достижимости для распределений на римановых многообразиях

§ 5. Теорема о параллелепипеде

§ 6. Нормальные формы распределений общего положения и

максимальный рост

§ 7. Симметричные полисистемы общего положения

§ 8. Функционал действия

§ 9. Примеры
Глава II. ЮЛЯ КОНУСОВ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ
§ I. Краткое содержание главы и исторический обзор . .89 § 2. Определениия и простейшие свойства полей конусов.92 § 3. Оценки множества достижимости для полей конусов..96 § 4. Случай общего положения для полей конусов и полисистем.
§ 5. Оценки множества достижимости для полисистем.
Точные показатели квазигельдероЕости границы области достижимости для полисистем общего положения
§ 6. Оценки множества точек, достижимых по кривым данной длины
Глава III. ЛЕВО ИНВАРИАНТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИИ НА ГРУППАХ ЛИ
§ I. Краткое содержание и исторический обзор
§ 2. ЛеЕоинвариантные распределения на полупростых
группах Ли
§ 3. Лемма о КЕазидопустимых геодезических треугольниках
§ 4. Теорема об эллипсоиде
§ 5, Теорема об аппроксимации вариационных геодезических
§ 6. Вычисление геодезических на $0(зЗ с двусторонне
инвариантной метрикой

Диссертация посвящена теории неголономных распределений, полей конусов и полисистем на римановых многообразиях и группах Ли и их применениям к вариационным задачам. Работа продолжает исследования А.Д.Александрова, А.М.Вершика-Л.Д.Фаддеева, Х.Зуссмана, К.Лобри и других.
Неголономные распределения, поля конусов и полисистемы естественно возникают во многих задачах механики [12,13,21,24,32, 45] , дифференциальной геометрии [10,14 , 21,28,39,53] , вариационном исчислении £34,51,52] , теории дифференциальных уравнений [1-3,27,44] и других областях, они имеют многочисленные приложения в прикладных задачах [15,16,35,42,46]
ВазвиЕаемый в диссертации подход к таким задачам несколько отличается от имевшихся, он связан с методами теории особенностей и существенно использует алгебраическую технику.
Основные результаты диссертации состоят в получении двусторонних оценок множества достижимости (функций Веллмана) для абсолютно неголономных распределений, полей конусов и полисистем общего положения на римановых многообразиях. Эти оценки основаны на полученных в работе квазинормальных формах струй конечных наборов векторных полей общего положения на гладких многообразиях,
Показано, что длина кратчайшей допустимой кривой, соединяющей данную точку х с точками £ - сферы (с центром х. ) есть, с точностью до мультипликативной константы и малых высшего порядка, дробная степень Е , причем показатель степени как функция направления определяется фильтрацией ^ , заданной на касательном пространстве в точ-

По предположению индукции
ууйлб^Н,«?^)
ос^и<ее
Таким образом получаем
е У ууг1п (Ч(с)-1М О)
I п х, I < г е~
'т>1
_ тгиС^И,^ „ • <^0
4 £ С- Получаем п
I*, суш)|«г Е | лг| ^ 1/^
(Поскольку ^ 0^^ ~ ограничены в некоторой окрестности ТОЧКИ X- ).
Леша I доказана.
ЛЕША 2 (правое включение). В условиях теоремы 5.1 найдутся положительные константы С(в-0 , такие что
$^(ос) с П^Сэс).
Доказательство. Нам надо показать, что найдутся положительные константы С-, &о , такие, что для любой допустимой кривой ^ такой, что ^(0)=Х и
имеет место включение
с П„„сх)
К I[0,6.3 ''М
Выберем с? € такими, чтобы для любой допустимой ломаной - 1 было справедливо включение